本書所探討的內容是整數(shù)，所以書中少有提到分數(shù)及無理數(shù)。人們通常把討論如何從一個不定方程的無窮多個解中選出哪些是整數(shù)，或至少是有理數(shù)（通常是正有理數(shù)）解的學問，叫作不定分析或丟番圖分析。本書不是要徹底研究這一學科，而僅是針對這個學科的一個十分特殊的部分；較之于整個學科，大致類似簡化方程和解方程的學問——代數(shù)學——與整個分析學的關系一樣。如同我們把所有關于數(shù)量的討論都放在分析學的大標題下一樣，我們把整數(shù)（以及分數(shù)——在它們由整數(shù)所確定的意義下）作為算術學的恰當?shù)难芯繉ο�。然而，人們口中常說的算術學，不外乎是計數(shù)與計算的學問（用恰當?shù)姆�號表示�?shù)，例如十進制表示法及其運算）。算術學還經(jīng)常涉及到這樣一些與算術毫無關系的問題（如對數(shù)理論），或者關于所有數(shù)量的問題。因此，將前面的內容稱為“初等算術”是恰當?shù)�，以便與“高等算術”區(qū)別開來。高等算術的研究范圍包括了對整數(shù)性質的一般研究。本書將只討論高等算術。


歐幾里得在他的《幾何原本》的第七卷以及其后幾卷中以古代學者慣用的方法優(yōu)美而嚴謹?shù)赜懻摰囊恍﹩栴}，屬于高等算術的范疇，但其討論的內容都是本學科的基礎內容。丟番圖的知名著作致力于研究不定分析問題，他取得了豐富的成果；考慮到這些問題的難度，加上丟番圖處理這些問題時使用的巧妙方法，尤其是當時作者手頭幾乎沒有多少數(shù)學工具可以使用，人們因而對作者的獨特思維和熟練手法極其關注。解決這些問題主要是靠靈活的技巧，而不需要掌握深刻的數(shù)學原理。由于這些問題非常特殊而不能產(chǎn)生普適的結論，所以，如果說丟番圖的著作開創(chuàng)了新時代，這是因為此書最早呈現(xiàn)了代數(shù)學所特有的技巧，而不是因為它以新的發(fā)現(xiàn)豐富了高等算術。為高等算術做出更多貢獻的是現(xiàn)代的學者們，其中皮耶·德·費瑪，萊昂哈德·歐拉，約瑟夫·拉格朗日以及阿德里安·馬里·勒讓德（以及另外少數(shù)幾位）開啟了這座科學神殿的大門，并揭示了其中的寶藏是何等豐富。我在此就不一一羅列他們的成果，因為這些成就在勒讓德為歐拉《代數(shù)學》所作序中已經(jīng)列出，在拉格朗日最近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本書合適的位置，我也會引用其中的很多成果。


本書的目的是介紹我在高等算術領域的研究。由于我五年前就承諾要出版此書，因而書中既有當時就開始的研究，也有后來的研究。為了不讓人詫異為什么本書幾乎從高等算術的最初步知識開始探討，還要重新拾起許多已被其他人積極研究過的成果，我必須解釋，當我 1795 年初開始轉而進行這個領域的研


究時，我并不知道現(xiàn)代學者在此領域中的發(fā)現(xiàn)，也沒有找到這些發(fā)現(xiàn)的方法。當時的情況是這樣的：在忙于其他研究時，我遇到了一個極不尋常的算術定理（如果我沒記錯的話，這就是本書第 108 條所說的那個定理），因為我覺得這條定理如此優(yōu)美，還因為我懷疑它與更加深刻的結果有關，所以我全身心投入其中，以求能夠理解它背后的原理并取得嚴格的證明。當我成功解決了這個問題后，我被這一類問題深深吸引，愛不釋手。于是，隨著一個結論引出另一個結論，我在拜讀到其他學者的著作之前，就已經(jīng)完成了本書前四章所介紹的絕大部分內容。最后，當我有可能拜讀這些天才人物的著作后，我才認識到我所深入思考的大部分內容都是早已知道的東西。但是，這只是更為增加了我的興趣，并讓我努力嘗試沿著他們的足跡進一步發(fā)展算術研究，第 5、第 6 和第 7章收錄了這部分研究結果。過了一段時間，我開始考慮發(fā)表我的研究成果，并說服自己保留早期研究的成果，這是因為，當時還沒有一本書把其他學者的工作收集在一起，它們分散在一些研究院的學術論文中；其次，很多研究的結論是全新的，且其中大多數(shù)結論還是用新方法討論的；最后，后期的結論與以前的結論之間有著千絲萬縷的關聯(lián)，如果不一開始重提前面的結論，后面的新結論就無法解釋清楚。


恰在此時，一部杰出的著作——《數(shù)論》問世，其作者是勒讓德。彼時，勒讓德已經(jīng)在高等算術領域做出了非常大的貢獻。在書中，他不僅把當時所發(fā)現(xiàn)的所有結果都收集在一起并加以系統(tǒng)整理，而且添加了許多他本人的新成果。因為當我注意到這本書時，我的作品的大部分已經(jīng)交到了出版商的手中，所以我無法在我書中的類似章節(jié)參考這本書。但是我感到必須對一些篇章做些補充注釋，我相信這位聲名赫赫的先生能夠理解，不會感到被冒犯。


四年來，本書的出版遇到了許多困難。在這一段時間里，我不僅繼續(xù)過去已經(jīng)開始進行的研究（當時為了避免本書篇幅過大，我決定分離出這些研究，準備在另外的地方發(fā)表），而且也從事許多新的研究。此外，許多我過去只是稍有觸及而當時覺得似乎不必詳細討論的問題（例如，第 37 條，第 82 條以及


其他若干條），也得到了進一步發(fā)展，并產(chǎn)生了一些看來是值得發(fā)表的更一般的結論。最后，主要由于第 5 章的內容，本書的篇幅變得大大超出我原來的預期，使我只得削減了最初打算寫的不少內容，特別是刪去了整個第 8 章（本書有幾處提到了第 8 章，它討論了任意次代數(shù)同余方程的一般處理）。一旦有可能，我會發(fā)表這些內容，它們的篇幅可以輕易地構成與本書篇幅相同的一本書。


在討論幾處難題時，我采用了綜合性證明并省去了結果推導過程。這是為了盡可能地簡潔。


第 7 章討論的是分圓理論或分正多邊形理論，雖然與算術無關，但其中的原理完全基于高等算術。幾何學者們也許會因為這個事實感到驚訝，但（我希望）他們會樂于看到由這種處理方法衍生出的新結論。


以上就是我要請讀者注意的一些事情。本書的優(yōu)劣我不好加以評判。我衷心希望本書能夠取悅那些關心科學發(fā)展的人士，不論是為他們提供一直尋找的問題的解法，還是為他們開啟通向新發(fā)現(xiàn)的途徑。


卡爾.弗里德里希.高斯