線性代數(shù)高級教程:矩陣理論及應(yīng)用
定 價:99 元
叢書名:華章數(shù)學譯叢
- 作者:[美]斯蒂芬·拉蒙·加西亞(Stephan Ramon Garcia)羅杰·A.
- 出版時間:2019/12/1
- ISBN:9787111640042
- 出 版 社:機械工業(yè)出版社
- 中圖法分類:O151.21
- 頁碼:
- 紙張:膠版紙
- 版次:
- 開本:16開
本書涵蓋了線性代數(shù)尤其是矩陣理論中所有基本且重要的內(nèi)容,包括:向量空間,內(nèi)積空間與賦范向量空間,分塊矩陣,矩陣的特征值與特征向量、特征多項式與極小多項式,酉三角化與分塊對角化,矩陣的相似與標準型,矩陣的三角化、對角化以及多個矩陣的同時對角化,交換的矩陣族,矩陣的各種分解,特征值交錯現(xiàn)象與慣性定理,各種特殊而重要的矩陣(酉矩陣、Hermite陣與斜Hermite陣、對稱陣與斜對稱陣、半正定矩陣與正定矩陣、正規(guī)矩陣以及各種特殊的正規(guī)矩陣等)等. 此外,書中還配有一定數(shù)量、難度適宜的習題,啟發(fā)讀者進一步思考.
在重點關(guān)注數(shù)據(jù)采集以及數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域,線性代數(shù)與矩陣方法越來越顯示出其重要性. 因此,這本書是為學習純數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、計算機科學、經(jīng)濟學、工程學、數(shù)學生物學、運籌學、物理學以及統(tǒng)計學的學生而寫的. 假設(shè)讀者學習過初級微積分系列課程以及線性代數(shù)第一教程.
本書值得注意的特點包括以下方面:
系統(tǒng)地用到分塊矩陣.
強調(diào)了矩陣以及矩陣分解.
由于酉矩陣與可行且穩(wěn)定的算法相關(guān),所以本書中強調(diào)了涉及酉矩陣的變換.
貫穿全書有大量的例子.
用圖形來說明線性代數(shù)的幾何基礎(chǔ).
以短小精練的章節(jié)涵蓋一學期課程的內(nèi)容.
有許多章都包含了一些特殊的論題.
每一章都包含一節(jié)問題(總共有600多個問題).
注記一節(jié)提供了有關(guān)額外信息來源的參考資料.
每一章都總結(jié)了在該章中引進的重要概念.
本書中所用的符號都列在記號表中.
有超過1700條索引幫助讀者確定概念與定義在書中出現(xiàn)的位置,這提高了本書作為參考資料的使用價值.
書中的矩陣與向量空間均相對于復(fù)數(shù)域而言. 使用復(fù)的向量使得對于特征值的研究更加便利,這也是與現(xiàn)代數(shù)值線性代數(shù)軟件相吻合的. 此外,它還與在物理學(量子力學中復(fù)的波函數(shù)與Hermite矩陣)、電氣工程(相位與振幅兩者都重要的電路與信號分析)、統(tǒng)計學(時間序列與特征函數(shù))以及計算機科學(快速Fourier變換、迭代算法中的收斂矩陣以及量子計算)中的應(yīng)用密切相關(guān).
學生在使用這本書學習線性代數(shù)時,可以觀察并實際使用良好的數(shù)學交流技巧. 這些技巧包括:如何細心地陳述(以及閱讀)一個定理;如何選擇(以及利用)假設(shè);怎樣用歸納法、反證法,或者通過證明逆否命題來證明一個命題;如何通過減弱假設(shè)或者加強結(jié)論來改進一個定理;怎樣利用反例;如何對一個問題寫出有說服力的解答.
線性代數(shù)應(yīng)用中的許多有用內(nèi)容都超出了線性變換以及相似性的范圍,所以它們不出現(xiàn)在采用算子方法的教材之中. 這些內(nèi)容包括:
Gergorin 定理
Householder 矩陣
QR分解
分塊矩陣
離散Fourier變換
循環(huán)矩陣
非負元素組成的矩陣(Markov矩陣)
奇異值分解與緊致奇異值分解
低秩逼近數(shù)據(jù)矩陣
廣義逆(MoorePenrose逆)
半正定矩陣
Hadamard(逐個元素的)乘積與Kronecker(張量)乘積
矩陣范數(shù)
最小平方解與極小范數(shù)解
復(fù)對稱陣
正規(guī)陣的慣性
特征值交錯與奇異值交錯
包含特征值、奇異值以及對角元素的不等式
這本書是按照如下方式組織的:
第0章復(fù)習初等線性代數(shù)的定義與結(jié)論.
第1章與第2章復(fù)習復(fù)的與實的向量空間,包括線性無關(guān)性、基、維數(shù)、秩以及線性變換的矩陣表示.
“第二教程”的內(nèi)容從第3章開始,它建立了貫穿本書使用的分塊矩陣范式.
第4章與第5章復(fù)習歐幾里得平面上的幾何,并利用它來派生出內(nèi)積空間和賦范線性空間的公理. 內(nèi)容包括正交向量、正交射影、標準正交基、正交化、Riesz表示定理、伴隨以及Fourier級數(shù)理論的應(yīng)用.
第6章引進了酉矩陣,在本書其余部分的結(jié)構(gòu)中都要用到它. 在構(gòu)造QR分解時要用到Householder矩陣,而QR分解在許多數(shù)值算法中都要用到.
第7章討論正交射影、最佳逼近、線性方程組的最小平方(或極小范數(shù))解,以及用QR分解來求解正規(guī)方程.
第8章介紹特征值、特征向量以及幾何重數(shù). 我們要證明,n×n復(fù)矩陣有1到n個相異的特征值,并且要用Gergorin定理來確定復(fù)平面中包含它們的一個區(qū)域.
第9章處理特征多項式以及代數(shù)重數(shù). 我們?yōu)閷腔⒘伺袆e法,并定義了可對角化矩陣的初等矩陣函數(shù). 內(nèi)容包括Fibonacci數(shù)、AB與BA的特征值、換位子以及同時對角化.
第10章包括令人稱奇的Schur定理:每一個方陣都與一個上三角陣(具有一個和交換族有關(guān)的結(jié)果)酉相似. Schur定理用來證明每個方陣都被它的特征多項式零化. 受后面這個結(jié)果的啟發(fā)而產(chǎn)生了極小多項式這個概念以及對其性質(zhì)的研究. 這里還證明了關(guān)于線性矩陣方程的Sylvester定理,并用它來證明每個方陣都與一個具有單譜對角分塊的分塊對角矩陣相似.
第11章建立在上一章的基礎(chǔ)之上,它要證明每個方陣都相似于一個特殊的分塊對角的上雙對角矩陣(它的Jordan標準型),這個標準型除了其中直和項的排列次序之外是唯一的. Jordan標準型的應(yīng)用包括線性微分方程組的初值問題、AB與BA的Jordan構(gòu)造的分析、收斂矩陣與冪有界矩陣的特征刻畫,以及元素為正的Markov矩陣的一個極限定理.
第12章討論正規(guī)矩陣,即與其共軛轉(zhuǎn)置可交換的矩陣. 譜定理說的是:矩陣是正規(guī)矩陣,當且僅當它可以酉對角化.已知這一結(jié)論的其他多個等價的表述. Hermite矩陣、斜Hermite矩陣、酉矩陣、實正交陣、實對稱陣以及循環(huán)矩陣都是正規(guī)矩陣.
半正定陣是第13章的討論對象. 這種矩陣是在統(tǒng)計學(相關(guān)矩陣以及正規(guī)方程)、力學(振動系統(tǒng)中的動能與勢能)以及幾何學(橢球體)中出現(xiàn)的. 內(nèi)容包括平方根函數(shù)、Cholesky分解以及Hadamard乘積與Kronecker乘積.
第14章主要是奇異值分解,它是統(tǒng)計學、控制論、逼近論、圖像壓縮以及數(shù)據(jù)分析中許多現(xiàn)代數(shù)值算法的核心. 內(nèi)容包括緊致奇異值分解與極分解,并特別關(guān)注這些分解的唯一性問題.
在第15章里,用奇異值分解來壓縮圖像或者壓縮數(shù)據(jù)矩陣. 這一章里討論的奇異值分解的其他應(yīng)用有矩陣的廣義逆(MoorePenrose逆)、奇異值與特征值之間的不等式、矩陣的譜范數(shù)、復(fù)對稱矩陣以及冪等矩陣.
第16章研究加邊的或者遵從一個附加攝動的Hermite矩陣的特征值交錯現(xiàn)象. 相關(guān)的討論包括奇異值的交錯定理、正定性的行列式判別法以及刻畫Hermite矩陣的特征值和對角元素的不等式. 我們要證明關(guān)于Hermite矩陣的Sylvester慣性定理以及關(guān)于正規(guī)矩陣的一個推廣的慣性定理.
在前言后面有一個記號一覽表. 在第16章后面有復(fù)數(shù)的復(fù)習資料以及一系列參考文獻. 本書末尾附有詳細的索引.
封面(指英文原書)圖片是2002年紐約的一位藝術(shù)家LunYi Tsai所繪的一幅名為《又是夏天》的畫,這位畫家的工作常常受到數(shù)學題材的啟發(fā).
感謝Zachary Glassman做了許多圖表,并回答了我們關(guān)于LaTex的問題.
感謝Dennis Merino、Russ Merris以及Zhongshan Li,他們仔細閱讀了本書的初稿.
感謝2014年與2015年秋季參加第一作者在Pomona學院舉辦的高等線性代數(shù)課程的學生. 特別要感謝Ahmed Al Fares、Andreas Biekert、Andi Chen、Wanning Chen、Alex Cloud、Bill DeRose、Jacob Fiksel、Logan Gilbert、Sheridan Grant、Adam He、David Khatami、Cheng Wai Koo、Bo Li、Shiyue Li、Samantha Morrison、Nathanael Roy、Michael Someck、Sallie Walecka以及Wentao Yuan,他們指出了本書初稿中的若干錯誤.
還要特別感謝Ciaran Evans、Elizabeth Sarapata、Adam Starr以及Adam Waterbury對本書極其認真的審校.
S. R. G
R. A. H
斯蒂芬•拉蒙•加西亞(Stephan Ramon Garcia) 美國波莫納學院數(shù)學教授,美國數(shù)學學會會士。他是4本書的作者,并發(fā)表了超過80篇論文。他的研究興趣包括算子理論、復(fù)變量、矩陣分析、數(shù)論和離散幾何。
羅杰•A. 霍恩(Roger A. Horn) 線性代數(shù)和矩陣理論領(lǐng)域國際知名數(shù)學專家。1967年獲得斯坦福大學數(shù)學博士學位,曾任約翰•霍普金斯大學數(shù)學系主任,現(xiàn)為猶他大學研究教授。他還曾擔任American Mathematical Monthly編輯。
譯者序
前言
記號
第0章預(yù)備知識
01函數(shù)與集合
02純量
03矩陣
04線性方程組
05行列式
06數(shù)學歸納法
07多項式
08多項式與矩陣
09問題
010一些重要的概念
第1章向量空間
11什么是向量空間
12向量空間的例子
13子空間
14線性組合與生成空間
15子空間的交、和以及直和
16線性相關(guān)與線性無關(guān)
17問題
18注記
19一些重要的概念
第2章基與相似性
21什么是基
22維數(shù)
23基表示與線性變換
24 基變換與相似性
25維數(shù)定理
26問題
27一些重要的概念
第3章分塊矩陣
31行與列的分劃
32秩
33分塊分劃與直和
34分塊矩陣的行列式
35換位子與Shoda定理
36Kronecker乘積
37問題
38注記
39一些重要的概念
第4章內(nèi)積空間
41畢達哥拉斯定理
42余弦法則
43平面中的角與長度
44內(nèi)積
45內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)
46賦范向量空間
47問題
48注記
49一些重要的概念
第5章標準正交向量
51標準正交組
52標準正交基
53GramSchmidt方法
54Riesz表示定理
55基表示
56線性變換與矩陣的伴隨
57Parseval等式與Bessel不等式
58Fourier級數(shù)
59問題
510注記
511一些重要的概念
第6章酉矩陣
61內(nèi)積空間中的等距
62酉矩陣
63置換矩陣
64Householder矩陣與秩1射影
65QR分解
66上Hessenberg矩陣
67問題
68注記
69一些重要的概念
第7章正交補與正交射影
71正交補
72相容線性方程組的極小范數(shù)解
73正交射影
74最佳逼近
75不相容線性方程組的最小平方解
76不變子空間
77問題
78注記
79一些重要的概念
第8章特征值、特征向量與幾何重數(shù)
81特征值特征向量對
82每個方陣有一個特征值
83有多少個特征值
84特征值在何處
85特征向量與交換矩陣
86實矩陣的實相似
87問題
88注記
89一些重要的概念
第9章特征多項式與代數(shù)重數(shù)
91特征多項式
92代數(shù)重數(shù)
93相似與特征值重數(shù)
94對角化與特征值重數(shù)
95可對角化矩陣的函數(shù)計算
96換位集
97AB與BA的特征值
98問題
99注記
910一些重要的概念
第10章酉三角化與分塊對角化
101Schur三角化定理
102CayleyHamilton定理
103極小多項式
104線性矩陣方程與分塊對角化
105交換矩陣與三角化
106特征值調(diào)節(jié)與Google矩陣
107問題
108注記
109一些重要的概念
第11章Jordan標準型
111Jordan塊與Jordan矩陣
112Jordan型的存在性
113Jordan型的唯一性
114Jordan標準型
115微分方程與Jordan標準型
116收斂的矩陣
117冪有界矩陣與Markov矩陣
118矩陣與其轉(zhuǎn)置陣的相似性
119AB與BA的可逆Jordan塊
1110矩陣與其復(fù)共軛矩陣的相似性
1111問題
1112注記
1113一些重要的概念
第12章正規(guī)矩陣與譜定理
121正規(guī)矩陣
122譜定理
123偏離正規(guī)性的虧量
124FugledePutnam定理
125循環(huán)矩陣
126一些特殊的正規(guī)矩陣類
127正規(guī)矩陣與其他可對角化矩陣的相似性
128正規(guī)性的某些特征
129譜分解
1210問題
1211注記
1212一些重要的概念
第13章半正定矩陣
131半正定矩陣
132半正定矩陣的平方根
133Cholesky分解
134二次型的同時對角化
135Schur乘積定理
136問題
137注記
138一些重要的概念
第14章奇異值分解與極分解
141奇異值分解
142緊致奇異值分解
143極分解
144問題
145注記
146一些重要的概念
第15章奇異值與譜范數(shù)
151奇異值與逼近
152譜范數(shù)
153奇異值與特征值
154譜范數(shù)的上界
155偽逆陣
156譜條件數(shù)
157復(fù)對稱陣
158冪等陣
159問題
1510注記
1511一些重要的概念
第16章交錯與慣性
161Rayleigh商
162Hermite陣之和的特征值交錯
163加邊Hermite陣的特征值交錯
164Sylvester判別法
165Hermite陣的對角元素與特征值
166Hermite陣的相合與慣性
167Weyl不等式
168正規(guī)矩陣的相合與慣性
169問題
1610注記
1611一些重要的概念
附錄A復(fù)數(shù)
參考文獻
索引