本書旨在幫助讀者看到群、 認識群、 驗證群， 從而理解群的實質(zhì)。 本書通過大量的圖像和直觀解釋來介紹群論。
本書的主要內(nèi)容有： 群是什么、 群看起來像什么、 為什么學(xué)習群、 群的代數(shù)定義、 五個群族、 子群、 積與商、 同態(tài)的力量、 西羅定理、 伽羅瓦理論。 每章*后一節(jié)為習題， 書后附有部分習題答案。
本書適合抽象代數(shù) （ 近世代數(shù)） 課程的學(xué)生和教師， 也適合那些首次接觸群論并需要在較短時間內(nèi)理解群論的讀者。
如果你想以輕松直觀的方式來學(xué)習群論的相關(guān)知識, 那么本書正適合你｡ 我之所以說是 “ 相關(guān)知識”, 是因為本書并不打算全面綜合地闡述群論的所有內(nèi)容｡ 在這里, 你將看到的是關(guān)于該學(xué)科基礎(chǔ)知識的清晰的､ 圖文并茂的闡述, 這將使你對群論有一個直觀的認識, 從而為進一步深入學(xué)習奠定堅實的基礎(chǔ)｡
本書非常適合剛剛開始學(xué)習群論初級課程的學(xué)生閱讀｡ 它可以替代傳統(tǒng)的教材, 或者作為參考書, 但是它的目標卻與傳統(tǒng)的教材截然不同｡ 大多數(shù)教材都是通過定理､ 證明和例子來介紹群論的｡ 這些教材的習題會教你如何做關(guān)于群的猜想, 并驗證其是否正確｡ 然而, 本書卻是教你如何 “ 認識” 群｡ 你將會看到它們, 驗證它們, 進而理解它們的實質(zhì)｡
本書為你提供的大量的圖像和直觀解釋, 將會大大加深你對傳統(tǒng)教材中事實和證明的領(lǐng)悟｡本書同樣適合娛樂性閱讀｡ 如果你只是想大概地了解一下群論或者學(xué)習它的主要原理, 又不想更深入地學(xué)習高年級本科生的數(shù)學(xué)課程, 那么你可以自學(xué)本書｡ 閱讀本書, 只要學(xué)過一般的高等數(shù)學(xué)即可, 不過你應(yīng)該樂于分析思考｡
我對本書的工作源于 “ Group Explorer”｡ Group Explorer 是我編寫的一個軟件包, 它可以生成有限群的插圖, 并允許使用者與其互動和驗證結(jié)果｡ 書中的許多插圖都是在 Group Explorer 的幫助下完成的｡ 如果可能的話, 學(xué)習使用 Group Explorer 可以幫助你解答本書中的一些習題｡
要從本書學(xué)到知識, 你倒不一定非用 Group Explorer 不可, 只有很少的一部分習題明確要求使用 Group Explorer｡ 不過我建議, 如果可以的話, 在學(xué)習中你要盡可能多地去親自驗證和交互｡ 我們越是參與其中,也就越愿意去學(xué)｡ Group Explorer 是一個免費軟件, 對所有的主流操作系統(tǒng)都可用｡
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致謝
前言
概述 1
第 1 章 群是什么 2
1. 1 一個有名的玩具 2
1. 2 觀察魔方 3
1. 3 關(guān)于對稱性的研究 3
1. 4 群的法則 4
1. 5 習題 5
1. 5. 1 滿足法則的情形 5
1. 5. 2 關(guān)于法則的一些結(jié)論 6
1. 5. 3 不滿足法則的情形 6
1. 5. 4 數(shù)字群 7
第 2 章 群看起來像什么? 8
2. 1 繪圖 8
2. 2 一個不那么有名的玩具 10
2. 3 繪制群圖 11
2. 4 凱萊圖 13
2. 5 初識抽象群 14
2. 6 習題 17
2. 6. 1 基礎(chǔ)知識 17
2. 6. 2 繪圖 17
2. 6. 3 回顧 18
2. 6. 4 法則 18
2. 6. 5 圖形 18
第 3 章 為什么學(xué)習群? 20
3. 1 對稱群 20
3. 1. 1 分子的形狀 22
3. 1. 2 晶體學(xué) 23
3. 1. 3 藝術(shù)與建筑 24
3. 2 作用群 27
3. 2. 1 舞蹈 27
3. 2. 2 多項式的根 28
3. 3 群無處不在 29
3. 4 習題 30
3. 4. 1 基礎(chǔ)知識 30
3. 4. 2 分子的對稱性 30
3. 4. 3 重復(fù)模式 31
3. 4. 4 舞蹈 32
第 4 章 群的代數(shù)定義 33
4. 1 作用都去哪兒了? 33
4. 2 組合, 組合, 組合 35
4. 3 乘法表 36
4. 4 經(jīng)典定義 38
4. 4. 1 結(jié)合律 39
4. 4. 2 逆元素 40
4. 4. 3 群的經(jīng)典定義 40
4. 4. 4 過去, 現(xiàn)在, 未來 41
. 5 習題 41
4. 5. 1 基礎(chǔ)知識 41
4. 5. 2 創(chuàng)建乘法表 42
4. 5. 3 偽乘法表 43
4. 5. 4 低階群 45
4. 5. 5 表的模式 46
4. 5. 6 代數(shù) 46
第 5 章 五個群族 49
5. 1 循環(huán)群 49
5. 1. 1 旋轉(zhuǎn)體 49
5. 1. 2 乘法表和模加法 50
5. 1. 3 軌道 52
5. 1. 4 循環(huán)圖 53
5. 2 阿貝爾群 53
5. 2. 1 凱萊圖中的非交換性 54
5. 2. 2 交換乘法表 55
5. 2. 3 錯綜復(fù)雜的循環(huán)圖 56
5. 3 二面體群 58
5. 3. 1 翻轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn) 58
5. 3. 2 D
n 的凱萊圖 59
5. 3. 3 D
n 的乘法表 60
5. 3. 4 第 7 章的一點預(yù)告 60
5. 3. 5 D
n 的循環(huán)圖 60
5. 4 對稱群與交錯群 62
5. 4. 1 置換 62
5. 4. 2 置換群 62
5. 4. 3 柏拉圖立體 64
5. 4. 4 凱萊定理 66
5. 4. 5 小結(jié) 69
5. 5 習題 69
5. 5. 1 基礎(chǔ)知識 69
5. 5. 2 理解群族 70
5. 5. 3 小成員 71
5. 5. 4 提高篇 72
5. 5. 5 拓展篇 73
5. 5. 6 凱萊定理 75
第 6 章 子群 77
6. 1 關(guān)于凱萊圖, 乘法表
說了什么? 77
6. 1. 1 完善我們的非正式定義 78
6. 2 看見子群 79
6. 3 顯露子群 80
6. 4 陪集 81
6. 5 拉格朗日定理 84
6. 6 習題 86
6. 6. 1 基礎(chǔ)知識 86
6. 6. 2 理解子群 87
6. 6. 3 哈斯圖 89
6. 6. 4 重組可視化圖 89
6. 6. 5 尋找例子 90
第 7 章 積與商 92
7. 1 直積 92
7. 1. 1 可視地構(gòu)造直積 93
7. 1. 2 更多直積的例子 95
7. 1. 3 為什么做直積? 96
7. 1. 4 代數(shù)觀點 99
7. 2 半直積 102
7. 3 正規(guī)子群與商 105
7. 4 正規(guī)化子 110
7. 5 共軛 114
7. 6 習題 117 Ⅶ
7. 6. 1 直積 117
7. 6. 2 半直積 119
7. 6. 3 商 119
7. 6. 4 正規(guī)化子 120
7. 6. 5 共軛 121
第 8 章 同態(tài)的力量 123
8. 1 嵌入和商映射 123
8. 1. 1 嵌入 127
8. 1. 2 商映射 128
8. 2 同態(tài)基本定理 131
8. 3 模運算 133
8. 4 直積與互素 136
8. 5 阿貝爾群基本定理 139
8. 6 再訪半直積 140
8. 7 習題 142
8. 7. 1 基礎(chǔ)知識 142
8. 7. 2 同態(tài) 143
8. 7. 3 嵌入 143
8. 7. 4 商映射 144
8. 7. 5 阿貝爾化 144
8. 7. 6 模運算 145
8. 7. 7 互素 145
8. 7. 8 半直積 146
8. 7. 9 同構(gòu) 147
8. 7. 10 有限交換群 149
第 9 章 西羅定理 152
9. 1 群作用 153
9. 2 走向西羅: 柯西定理 157
9. 2. 1 6 階群的分類 161
9. 3 p - 群 162
9. 4 西羅定理 165
9. 4. 1 第一西羅定理: p - 子群的
存在性 165
9. 4. 2 8 階群的分類 168
9. 4. 3 第二西羅定理: p - 子群間的
關(guān)系 170
9. 4. 4 第三西羅定理: p - 子群的
個數(shù) 172
9. 4. 5 15 階群的分類 173
9. 5 習題 174
9. 5. 1 基礎(chǔ)知識 174
9. 5. 2 群作用和作用圖 174
9. 5. 3 論證 174
9. 5. 4 西羅 p - 子群 175
9. 5. 5 給定階群的分類 175
第 10 章 伽羅瓦理論 177
10. 1 大問題 177
10. 2 更多大問題 180
10. 3 域擴張的可視化 182
10. 4 不可約多項式 185
10. 5 伽羅瓦群 187
10. 5. 1 一個小的域擴張:
Q Q (槡2) 187
10. 5. 2 Q Q (槡2) 的對稱性 188
10. 5. 3 域擴張的對稱性 189
10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的對稱性 191
10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的對稱性 193
10. 6 伽羅瓦理論的核心 195
10. 7 不可解 198
10. 7. 1 一個不可解群 198
10. 7. 2 一個不可解多項式 200
10. 7. 3 結(jié)論 202
10. 8 習題 202
10. 8. 1 基礎(chǔ)知識 202
10. 8. 2 域和擴張 204
10. 8. 3 多項式和可解性 207
10. 8. 4 有限域 208
部分習題答案 209
符號索引 229
參考文獻 231
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