目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 幾個(gè)例子 2
1.3 《新課標(biāo)》的要求 5
思考題 8
第2章 集合論觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 9
2.1 樸素集合論與公理集合論 9
2.1.1 樸素集合論 9
2.1.2 公理集合論 13
2.2 笛卡兒積與關(guān)系 18
2.2.1 笛卡兒積 18
2.2.2 關(guān)系 19
2.2.3 等價(jià)關(guān)系與序關(guān)系 20
2.3 集合論觀點(diǎn)下的某些中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解釋 22
2.3.1 數(shù)集的擴(kuò)張 22
2.3.2 函數(shù)概念的演化 24
2.3.3 對(duì)復(fù)數(shù)集的再認(rèn)識(shí) 26
思考題 28
第3章 數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 30
3.1 數(shù)學(xué)分析發(fā)展簡(jiǎn)史 30
3.2 從數(shù)學(xué)分析中的實(shí)數(shù)公理看中學(xué)數(shù)學(xué) 33
3.3 數(shù)學(xué)分析的辯證觀點(diǎn)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略的指導(dǎo) 37
3.3.1 分合并用 38
3.3.2 進(jìn)退互化 43
3.3.3 動(dòng)靜轉(zhuǎn)換 48
3.3.4 正反相輔 51
3.4 數(shù)學(xué)分析的方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 55
3.4.1 構(gòu)造輔助函數(shù)的方法 58
3.4.2 母函數(shù)方法 61
3.4.3 琴生不等式的應(yīng)用 66
3.4.4 連續(xù)函數(shù)介值定理的應(yīng)用 67
3.5 e和π超越性的證明 72
3.5.1 代數(shù)數(shù)的概念及性質(zhì) 73
3.5.2 e的超越性 73
3.5.3 π的超越性 76
思考題 77
第4章 代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 78
4.1 代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史 78
4.1.1 古典代數(shù)是以方程的研究為中心的 78
4.1.2 近世代數(shù)是以研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)為中心的 82
4.2 中學(xué)數(shù)學(xué)某些問(wèn)題的代數(shù)學(xué)解釋 83
4.2.1 方程組的同解變形理論 83
4.2.2 尺規(guī)作圖問(wèn)題 88
4.3 伽羅瓦理論與代數(shù)方程的公式解 95
4.3.1 單群 95
4.3.2 可解群 99
4.3.3 正規(guī)擴(kuò)域 100
4.3.4 伽羅瓦群 101
4.4 多項(xiàng)式理論與中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 107
4.4.1 基本知識(shí) 107
4.4.2 與多項(xiàng)式有關(guān)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解析 109
思考題 117
第5章 幾何學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 118
5.1 幾何學(xué)的產(chǎn)生及其發(fā)展概述 118
5.1.1 從歐氏幾何到非歐幾何 118
5.1.2 射影幾何 121
5.1.3 解析幾何 122
5.1.4 微分幾何和拓?fù)鋵W(xué) 123
5.2 高等幾何的基本內(nèi)容和方法 124
5.2.1 仿射幾何的基本內(nèi)容和方法 124
5.2.2 射影幾何的基本內(nèi)容和方法 126
5.3 高等幾何與初等幾何的區(qū)別與聯(lián)系 132
5.3.1 公理法下兩種幾何的區(qū)別與聯(lián)系 132
5.3.2 變換群下兩種幾何學(xué)之間的關(guān)系 133
5.4 利用高等幾何的原理和方法解決有關(guān)中學(xué)幾何問(wèn)題 136
5.4.1 仿射變換的應(yīng)用 136
5.4.2 利用中心投影及交比解決初等幾何問(wèn)題 140
5.4.3 德薩格定理及完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)的應(yīng)用 142
5.4.4 與二次曲線有關(guān)的初等幾何問(wèn)題 143
思考題 145
第6章 數(shù)理邏輯觀點(diǎn)下的中學(xué)簡(jiǎn)易邏輯 146
6.1 數(shù)理邏輯的產(chǎn)生及其對(duì)數(shù)學(xué)的方法論意義 146
6.2 命題邏輯和謂詞邏輯 148
6.2.1 命題邏輯 148
6.2.2 謂詞邏輯 151
6.3 對(duì)“簡(jiǎn)易邏輯”中一些問(wèn)題的思考 155
6.3.1 簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的區(qū)分 156
6.3.2 復(fù)合命題的構(gòu)造 159
6.3.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)解讀 163
思考題 167
第7章 組合數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 169
7.1 組合數(shù)學(xué)簡(jiǎn)說(shuō) 169
7.1.1 組合數(shù)學(xué)概覽 169
7.1.2 四色問(wèn)題——從一道數(shù)學(xué)高考試題談起 170
7.1.3 兩個(gè)古老的問(wèn)題 171
7.2 組合數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題與中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 173
7.2.1 計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本內(nèi)容 173
7.2.2 計(jì)數(shù)問(wèn)題的原理和方法的應(yīng)用舉例 179
7.3 圖論與中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 187
7.3.1 圖的基本概念 187
7.3.2 幾種特殊的圖與中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 190
思考題 196
第8章 概率統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 197
8.1 引言 197
8.2 概率統(tǒng)計(jì)發(fā)展小史 197
8.2.1 概率論的起源與發(fā)展 197
8.2.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源與發(fā)展 198
8.3 概率統(tǒng)計(jì)思想方法淺析 199
8.3.1 隨機(jī)思想與概率大小 200
8.3.2 抽樣與統(tǒng)計(jì) 201
8.3.3 統(tǒng)計(jì)規(guī)律與因果關(guān)系 201
8.3.4 估計(jì)與檢驗(yàn)的思想 202
8.4 對(duì)中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的指導(dǎo)作用 207
8.4.1 確定性思維的轉(zhuǎn)變——概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系 208
8.4.2 中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的問(wèn)題和教學(xué)建議 209
思考題 217
思考題參考答案 218
參考文獻(xiàn) 242