本卷收錄了吳文俊的《數(shù)學機械化》一書. 本書是圍繞作者命名的“數(shù)
學機械化”這一中心議題而陸續(xù)發(fā)表的一系列論文的綜述. 本書試圖以構
造性與算法化的方式來研究數(shù)學, 使數(shù)學推理機械化以至于自動化, 由此
減輕繁瑣的腦力勞動.
全書分成三個部分：第一部分考慮數(shù)學機械化的發(fā)展歷史, 特別強調
在古代中國的發(fā)展歷史. 第二部分給出求解多項式方程組所依據(jù)的基本
原理與特征列方法. 作為這一方法的基礎, 本書還論述了構造性代數(shù)幾何
中的若干問題. 第三部分給出了特征列方法在幾何定理證明與發(fā)現(xiàn)、機器
人、天體力學、全局優(yōu)化和計算機輔助設計等領域中的應用.
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目錄
第一部分 歷史發(fā)展
第一章 古代多項式方程組求解，主要討論中國 3
1.1 中國歷史和中國古代數(shù)學典籍簡述 3
1.2 中國古代解多項式方程的方法 10
1.3 古代外國的多項式方程解法和笛卡兒方案 21
第二章 幾何定理證明的歷史發(fā)展和古代的幾何問題求解 27
2.1 幾何定理證明，從歐幾里得到希爾伯特 27
2.2 計算機時代的幾何定理證明 38
2.3 古代中國的幾何問題求解和幾何定理證明 41
第二部分 原理與方法
第三章 作為零點集的代數(shù)簇和特征集方法 59
3.1 仿射空間和投影空間的擴張點和特定化 59
3.2 代數(shù)簇和零點集 66
3.3 多項式集、升列和偏序 77
3.4 多項式集的特征列和整序原理 85
3.5 零點分解定理 95
3.6 簇分解定理 108
第四章 計算機代數(shù)的若干問題 119
4.1 整數(shù)組 119
4.2 多項式理想的良序基 125
4.3 一個多項式理想的良性基 131
4.4 良性基的性質及其與Groebner基的關系 139
4.5 任意擴域上的多元多項式的因式分解和最大公因式 147
第五章 計算代數(shù)幾何中的一些問題 157
5.1 實代數(shù)簇與復代數(shù)簇的一些重要特征 157
5.2 代數(shù)對應和周形式 169
5.3 具有任意奇性的不可約代數(shù)簇的陳類與陳數(shù) 179
5.4 擬代數(shù)簇的投影定理 186
5.5 實多項式的極值性 194
第三部分 應用實例
第六章 在多項式方程組求解中的應用 209
6.1 多項式方程組求解的基本原理:特征集方法 209
6.2 一種多項式方程組求解的混合方法 217
6.3 求解計數(shù)幾何中的問題 228
6.4 星體運動與渦流運動的中心構型 237
6.5 機器人學中逆運動方程的求解 248
第七章 在幾何定理證明中的應用 261
7.1 幾何定理機器證明的基本原理 261
7.2 Hilbert型幾何定理的機器證明 270
7.3 只涉及等式的幾何定理機器證明 284
7.4 涉及不等式的幾何定理機器證明 293
第八章 在其它方面的應用 309
8.1 在自動發(fā)現(xiàn)未知關系和自動確定幾何軌跡方面的應用 309
8.2 在不等式、優(yōu)化問題和非線性規(guī)劃等問題方面的應用 320
8.3 四連桿機構設計方面的應用 328
8.4 在計算機輔助幾何設計(CAGD)的由面拼接問題中的應用 336
8.5 一些補充和擴展 344
參考文獻 363
圖目錄
1.1 骨制和竹制的算籌 4
1.2 九章 中的開平方術 12
1.3 磐折形F 14
1.4 矩形區(qū)域 14
1.5 原來的第20題 16
1.6 問題R 16
1.7 九章中的開立方術a 16
1.8 九章中的開立方術b 16
2.1 畢達哥拉斯定理 28
2.2 海倫公式 29
2.3 高斯線定理 30
2.4 用希爾伯特通用方法證明Desargues定理 34
2.5 退化情形下該定理仍可能成立 36
2.6 直線BC同直線B'C'不再平行 36
2.7 Bokowski例子 38
2.8 周醉中的勾股定理 43
2.9 日高公式 44
2.10 1:1高公式的復原 45
2.11 城寬問題 46
2.12 勾股章中兩個應用的例子 47
2.13 秦九韶-海倫三角形面積公式 49
2.14 多面體體積的劉徽原理a 51
2.15 多面體體積的劉徽原理b 52
2.16 古代中國π的計算 54
3.1 零點集對應的幾何結構a 116
3.2 零點集對應的幾何結構b 117
3.3 零點集對應的幾何結構c 117
3.4 零點集對應的幾何結構d 117
3.5 零點集對應的幾何結構e 117
3.6 X(0)不在Vαr[IRRJ或Vαr[AS1]中的幾何意義 118
5.1 極值點與極值確定的基本問題 196
6.1 機器人學中逆運動方程的求解 249
6.2 Puma型機器人 253
7.1 Desargue呂定理的逆命題不成立的情形 265
7.2 Hilbert型定理的示例 274
7.3 Feuerbach定理 275
7.4 命題7.2.10的示意圖 277
7.5 命題7.2.12的示意圖 278
7.6 Steiner定理 278
7.7 Morley定理 280
7.8 6極點定理 282
7.9 內心或外心定理 289
710 割線定理 291
7.11 Pasch定理 297
7.12 角平分線相等的三角形 299
7.13 相等角平分線定理 301
7.14 四邊形凸性定理 303
7.15 修改的相等角平分線定理 305
7.16 Euler不等式 306
8.1 Gauss五邊形定理 312
8.2 4-連桿 318
8.3 橢圓問題 326
8.4 碰撞問題 328
8.5 基于Burmester幾何理論的問題L2的解法 331
8.6 問題口的一個簡化解 333
8.7 問題L 2的關劉解法 335
8.8 管道拼接 341
8.9 三圓柱曲面的拼接 343
8.10 金字塔定理a 346
8.11 金字塔定理b 347
8.12 問題P的答案(P1) 349
8.13 問題P的答案(P2) 349
8.14 Poncelet定理 351
8.15 天體力學中的Kepler方程 356
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