Sobolev（索伯列夫）空間是由函數(shù)組成的賦范向量空間，主要用來(lái)研究偏微分方程理論。在研究偏微分方程中，人們往往需要運(yùn)用泛函分析的相關(guān)知識(shí)，因此需要找到一個(gè)合適的空間。在Sobolev空間中，偏微分方程的解得到了某種意義下的“弱化”，這使得人們可以在更大的空間中求偏微分方程的解及解的正則性等性質(zhì)。對(duì)于一個(gè)函數(shù)空間，人們自然會(huì)問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，也就是這個(gè)函數(shù)空間與其他函數(shù)空間的關(guān)系。Sobolev嵌入定理恰好能夠描述Sobolev空間與其他函數(shù)空間的嵌入關(guān)系。
　　作為Sobolev嵌入定理的臨界情形，Trudinger-Moser嵌入在帶有指數(shù)增長(zhǎng)型非線(xiàn)性項(xiàng)的偏微分方程的解的存在性研究中起著重要的作用。該嵌入問(wèn)題的研究主要包括兩個(gè)方面：①最佳常數(shù)能否達(dá)到；②極值函數(shù)是否存在。目前上述兩個(gè)方面已經(jīng)有了很多重要的工作。例如，AdimurthiDruet研究了有界光滑區(qū)域上最佳常數(shù)帶有余項(xiàng)的Trudinger-Moser嵌入，AdimurthiSandeep考慮了有界光滑區(qū)域上奇異的Trudinger-Moser嵌入，Ruf研究了二維歐氏空間中任意區(qū)域上的Trudinger-Moser嵌入，F(xiàn)ontana考慮了黎曼流形上的Trudinger-Moser嵌入，Carleson Chang證明了中單位球上極值函數(shù)是存在的。在國(guó)內(nèi)，楊云雁教授等學(xué)者也在這方面做出了許多杰出的工作。受?chē)?guó)內(nèi)外同行的啟發(fā)與鼓舞，我們?cè)谶@方面也做了一些研究工作。
　　本書(shū)介紹近年來(lái)作者及其合作者關(guān)于Trudinger-Moser嵌入的一些研究成果，共分四章。第一章是引言，介紹了國(guó)內(nèi)外在Trudinger-Moser嵌入問(wèn)題上的一些研究進(jìn)展；第二章給出加權(quán)的Trudinger-Moser嵌入的結(jié)果及其證明；第三章給出帶Lp范數(shù)的Trudinger-Moser嵌入的結(jié)果及其證明；第四章給出了一類(lèi)Trudinger-Moser嵌入的極值函數(shù)存在性問(wèn)題的結(jié)果，利用Blow-up分析的方法研究了一類(lèi)帶Lp范數(shù)的Trudinger-Moser不等式的極值函數(shù)的存在性問(wèn)題。
　　本書(shū)在編寫(xiě)過(guò)程中，得到中國(guó)人民大學(xué)楊云雁教授的指導(dǎo)和幫助，本書(shū)的出版得到北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)部于深主任的大力支持，在此表示深切的謝意！
　　由于作者水平有限，書(shū)中難免存在疏漏和不足之處，懇請(qǐng)各位專(zhuān)家和讀者批評(píng)指正。