泛函分析是現代數學的一個重要分支，它不但具有高度的抽象性，而且具有高度的統(tǒng)一性和廣泛的應用性。本書試圖將抽象的泛函分析與一些具體的物理問題聯(lián)系起來，內容涉及經典變分中的幾個著名例子，線性泛函分析中一些基本定理，廣義函數和Sobolev空間，泛函極值的一階和二階必要條件及充分條件，Ekeland變分原理及其推廣和應用，Pontryagin**值原理及其應用，共軛凸函數理論及其應用，極小極大原理尤其是山路引理及其應用，具有Newton勢的N(≥2)體問題的周期解，以及幾個經典的不動點定理。
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目錄
前言
第1章 變分法的幾個經典例子 1
1.1 等周問題與捷線問題等 1
1.2 定義與記號 5
習題 6
第2章 Banach空間與Hilbert空間簡介 7
2.1 Banach空間及其一些基本概念 7
2.2 Hahn-Banach延拓定理與凸集分離定理 9
2.3 Hilbert空間、Riesz表示定理及Lax-Milgram定理 15
習題 19
第3章 廣義函數與Sobolev空間 22
3.1 廣義函數 22
3.2 幾個常用的經典不等式 28
3.3 Sobolev嵌入定理 31
習題 50
第4章 泛函極值的一階和二階條件 52
4.1 Frechet微分與Gateaux微分 52
4.2 Euler-Lagrange方程 60
4.3 經典Weierstrass定理的無限維推廣及Dirichlet原理 71
4.4 二階變分的Legendre必要條件和acobi必要條件 80
4.5 弱極小的二階變分的充分條件 90
習題 92
第5章 Ekeland變分原理及其應用 94
5.1 經典的Ekeland變分原理 94
5.2 Ekeland變分原理的推廣 97
5.3 Ekeland變分原理的應用 101
習題 105
第6章 Pontryagin最大值原理及其應用 106
6.1 引言 106
6.2 Pontryagin最大值原理 107
6.3 Pontryagin最大值原理應用于經典變分問題 110
6.4 Ekeland變分原理應用于Pontryagin最大值原理 112
習題 113
第7章 共軛凸函數理論及其應用 114
7.1 共軛凸函數理論簡介 114
7.2 Hamilton共軛與Clarke共軛 123
習題 126
第8章 極小極大原理 128
8.1 偽梯度向量場與形變引理 130
8.2 一般的極小極大定理 138
8.3 山路引理 141
8.4 山路引理在橢圓邊值問題中的應用 144
習題 152
第9章 多體問題的周期解 153
9.1 Kepler軌道及其變分最小性質 153
9.2 三體問題的Euler解和Lagrange解及其變分最小性 158
9.3 平面等質量三體問題的“8”字形解 169
9.4 平面三體問題新的周期解 174
9.5 三維空間中的N體問題的非平面非碰撞周期解 179
9.6 Saari猜想簡介 185
習題 187
第10章 幾個著名的不動點定理及其應用 188
10.1 Banach壓縮映像原理及其應用 188
10.2 Brouwer不動點定理、Fan Ky不等式與Nash均衡 193
10.3 Schauder不動點定理及其應用 205
10.4 Leray-Schauder不動點定理 209
10.5 Poincare-Birkho不動點定理簡介 211
習題 212
參考文獻 213
致射 219
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