目錄
前言
第1章 數(shù)學(xué)物理中的分?jǐn)?shù)階微分方程 1
1.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的由來(lái) 1
1.2 反常擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散對(duì)流 4
1.2.1 隨機(jī)游走和分?jǐn)?shù)階方程 5
1.2.2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散對(duì)流方程 8
1.2.3 分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck方程 9
1.2.4 分?jǐn)?shù)階Klein-Kramers方程 12
1.3 分?jǐn)?shù)階準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(QGE) 12
1.4 分?jǐn)?shù)階Schrodinger方程 16
1.5 分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程 18
1.6 分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz方程 22
1.7 分?jǐn)?shù)階微分方程的一些應(yīng)用 23
第2章 分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階方程 28
2.1 分?jǐn)?shù)階積分和求導(dǎo) 28
2.1.1 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分 28
2.1.2 R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 35
2.1.3 R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換 40
2.1.4 其他的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義 42
2.2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子 48
2.2.1 定義與背景 48
2.2.2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì) 52
2.2.3 擬微分算子 56
2.2.4 Riesz位勢(shì)與Bessel位勢(shì) 62
2.2.5 分?jǐn)?shù)階Sobolev空間 63
2.2.6 交換子估計(jì) 68
2.3 解的存在唯一性 74
2.3.1 序列分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 74
2.3.2 線性分?jǐn)?shù)階微分方程 75
2.3.3 般的分?jǐn)?shù)階常微分方程 77
2.3.4 例子——Mittag-Leffler函數(shù)的應(yīng)用 80
2.4 附錄A 傅里葉變換 82
2.5 附錄B 拉普拉斯變換 89
2.6 附錄C Mittag-Leffler函數(shù) 91
2.6.1 Gamma函數(shù)和Beta函數(shù) 91
2.6.2 Mittag-Leffler函數(shù) 93
第3章 分?jǐn)?shù)階偏微分方程 95
3.1 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 95
3.2 分?jǐn)?shù)階Schrodinger方程 98
3.2.1 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Schrodinger方程 98
3.2.2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Schrodinger方程 109
3.2.3 一維分?jǐn)?shù)階Schrodinger方程的整體適定性 113
3.3 分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程 120
3.3.1 弱解的存在性 120
3.3.2 強(qiáng)解的整體存在性 125
3.3.3 吸引子的存在性 131
3.4 分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz方程 135
3.4.1 黏性消去法 136
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近與漸近極限 142
3.4.3 高維情形——Galerkin逼近 148
3.5 分?jǐn)?shù)階QG方程 160
3.5.1 解的存在唯一性 161
3.5.2 無(wú)黏極限 170
3.5.3 長(zhǎng)時(shí)間行為——衰減相逼近 174
3.5.4 吸引子的存在性 181
3.6 邊值問(wèn)題——調(diào)和延拓方法 189
第4章 分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值逼近 198
4.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義及其相互關(guān)系 198
4.2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分的G算法 201
4.3 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的D算法 204
4.4 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的R算法 207
4.5 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的L算法 209
4.6 分?jǐn)?shù)階差商逼近的一般通式 210
4.7 經(jīng)典整數(shù)階數(shù)值微分、積分公式的推廣 212
4.7.1 經(jīng)典向后差商及中心差商格式的推廣 212
4.7.2 插值型數(shù)值積分公式的推廣 214
4.7.3 經(jīng)典線性多步法的推廣：Lubich分?jǐn)?shù)階線性多步法 215
4.8 其他方法技巧的應(yīng)用 218
4.8.1 利用傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算周期函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分 218
4.8.2 短記憶原理 218
第5章 分?jǐn)?shù)階常微分方程數(shù)值求解方法 220
5.1 分?jǐn)?shù)階線性微分方程的解法 220
5.2 一般分?jǐn)?shù)階常微分方程的解法 221
5.2.1 直接法 222
5.2.2 間接法 225
5.2.3 差分格式 226
5.2.4 誤差分析 227
第6章 分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解法 230
6.1 空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程 231
6.2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程 234
6.2.1 差分格式 235
6.2.2 穩(wěn)定性分析：Fourier-Von Neumann方法 235
6.2.3 誤差分析 236
6.3 時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程 238
6.3.1 差分格式 238
6.3.2 穩(wěn)定性及收斂性分析 239
6.4 非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計(jì)算 244
6.4.1 Adomian分解法 244
6.4.2 變分迭代法 246
參考文獻(xiàn) 248