代數(shù)學(xué) I: 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
定 價：15.2 元
- 作者：歐陽毅，申伊塃編
- 出版時間：2016/8/1
- ISBN：9787040459494
- 出 版 社：高等教育出版社
- 中圖法分類：O15
- 頁碼：127
- 紙張：膠版紙
- 版次：1
- 開本：16K
本書介紹代數(shù)和數(shù)論基本知識，具體內(nèi)容包括集合論基本知識，等價關(guān)系，復(fù)數(shù)，群、環(huán)、域的定義、例子和簡單性質(zhì)，陪集和拉格朗日定理，階與循環(huán)群，置換與對稱群，整數(shù)整除理論，同余理論，費馬定理、歐拉定理和中國剩余定理，二次剩余與二次互反律，域上的多項式理論，韋達(dá)定理，整數(shù)環(huán)上的多項式，對稱多項式。
代數(shù)方法和分析方法是數(shù)學(xué)研究中兩種最基本的方法，也是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)教育的重點。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)校伊始就受到華羅庚、王元、萬哲先、曾肯成等前輩數(shù)論和代數(shù)大家的諄諄教導(dǎo)，代數(shù)和數(shù)論方面人才輩出。20世紀(jì)80年代以來，在馮克勤教授和李尚志教授等領(lǐng)導(dǎo)下，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的代數(shù)教學(xué)水平一直維持在較高水平，培養(yǎng)的代數(shù)和數(shù)論人才受到國內(nèi)外同行高度稱許�？拼笾阅軌蛟诖鷶�(shù)教學(xué)方面取得較好成果，一方面原因是學(xué)生們受到嚴(yán)格的“線性代數(shù)”基礎(chǔ)訓(xùn)練；另一方面科大一直堅持為數(shù)學(xué)系學(xué)生開設(shè)“初等數(shù)論”和“近世代數(shù)”基礎(chǔ)課程，并在高年級和研究生階段開設(shè)“群表示論”“交換代數(shù)”等課程，并配備有《整數(shù)與多項式》（馮克勤、余紅兵編著），《近世代數(shù)引論》（馮克勤、李尚志、查建國、章璞編著），《群與代數(shù)表示論》（馮克勤、章璞、李尚志編著）等著名教材。
進(jìn)入新世紀(jì)以來，新一代科大學(xué)生入學(xué)時的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和20世紀(jì)八十、九十年代學(xué)生有較大區(qū)別。這里面一部分原因是高中新課標(biāo)和高考指揮棒的影響，大部分學(xué)生在高中時代受到題海戰(zhàn)術(shù)的錘煉，但獨立探索和抽象思維能力受到壓制。他們更早接觸到微積分的思想，對于高考中出現(xiàn)的各種題型十分熟練.但在平面幾何、因式分解和三角函數(shù)等方面的基本訓(xùn)練遠(yuǎn)不如以前，在數(shù)學(xué)證明和邏輯嚴(yán)格性方面的訓(xùn)練也不如以前。另一方面，這一代學(xué)生或多或少參加過數(shù)學(xué)競賽，而其中最體現(xiàn)抽象思維能力的初等數(shù)論問題常常是他們最頭疼的問題之一。當(dāng)同學(xué)們在大一開始接觸“初等數(shù)論”課程時，上述兩方面的原因就讓同學(xué)們對于課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒。到大二開始學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”課程時，撲面而來的抽象代數(shù)思想，特別是群論思想和方法更讓不少學(xué)生感到無所適從。因此科大的代數(shù)教學(xué)在前些年受到比較嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。另一方面，我們的教材沒有及時體現(xiàn)新時期學(xué)生的最新情況，需要得到及時更新。從教學(xué)本身來看，通過多年教學(xué)和科研實踐，我們發(fā)現(xiàn)各代數(shù)課程之間的銜接以及對應(yīng)教材之間銜接不是特別流暢（各數(shù)學(xué)核心課程的銜接亦是如此），在統(tǒng)一的框架下對代數(shù)課程教學(xué)和教材建設(shè)進(jìn)行規(guī)劃成為必要。
2011年，在編者的組織下，數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院全體教授對于代數(shù)系列課程的教學(xué)大綱和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了熱烈討論，《代數(shù)系列課程綱要》數(shù)易其稿，最終得到通過。我們對代數(shù)方面涉及的6門課程進(jìn)行全面改革和優(yōu)化。原來的“初等數(shù)論”課程由“代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”課程替代，與“近世代數(shù)”“代數(shù)學(xué)”一起構(gòu)成代數(shù)教學(xué)三門核心課程。它們由淺入深，目標(biāo)是為數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生奠定扎實的代數(shù)基礎(chǔ)。基于課程改革的需要，我們當(dāng)即著手對應(yīng)的教材建設(shè)，計劃在原來教材的基礎(chǔ)上編寫代數(shù)學(xué)三部系列教材：《代數(shù)學(xué)I代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，《代數(shù)學(xué)II近世代數(shù)》和《代數(shù)學(xué)III代數(shù)學(xué)進(jìn)階》。
本書即是代數(shù)學(xué)系列教材三部曲的第一部。我們在馮克勤教授和余紅兵教授編著的教材《整數(shù)與多項式》基礎(chǔ)上，參照Artin，Lang，Hungerford，Dummit-Foote等著名英文教材，對群、環(huán)、域的定義和基本性質(zhì)，循環(huán)群和對稱群，整數(shù)理論，多項式理論等進(jìn)行介紹，目的是為后續(xù)的線性代數(shù)，近世代數(shù)和數(shù)論（包括數(shù)論的應(yīng)用）等眾多課程提供基礎(chǔ)。我們在保留原來初等數(shù)論課程整數(shù)理論和多項式理論的基礎(chǔ)上，增加了復(fù)數(shù)、韋達(dá)定理等高中忽視的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)了等價關(guān)系這個大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)難點，增加了群.環(huán)、域的基礎(chǔ)知識特別是循環(huán)群的知識，對線性代數(shù)教學(xué)急需的置換的概念進(jìn)行討論。這樣編寫的目的，首先是讓學(xué)生較早接觸到群、環(huán)、域等抽象概念，盡早鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，為后續(xù)的近世代數(shù)課程降低難度。其次我們統(tǒng)一使用代數(shù)的思想介紹整數(shù)和多項式的理論，希望同學(xué)們能夠了解初等數(shù)論不是數(shù)學(xué)競賽中高不可攀的一道道難題，而是在統(tǒng)一邏輯框架下的優(yōu)美理論，它不僅在今后數(shù)學(xué)各方面學(xué)習(xí)中有很多用處，而且是數(shù)學(xué)在實際生活中應(yīng)用的重要理論基石。這也是我們將《初等數(shù)論》改名為《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的原因。
本書分為九章。第一章為預(yù)備知識，總結(jié)了集合和映射等概念，特別對等價關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)闡述，介紹了復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，以及求和與求積符號等內(nèi)容。此章內(nèi)容實為數(shù)學(xué)各學(xué)科之基礎(chǔ)，在此一并給出，應(yīng)屬必要。第二章引入了群、環(huán)、域的概念，包括同態(tài)、同構(gòu)、正規(guī)子群和理想等概念，給出例子和簡單性質(zhì)。第三章和第四章是整數(shù)整除和同余理論的學(xué)習(xí)，包括算術(shù)基本定理和歐幾里得算法，剩余類環(huán)的構(gòu)造以及歐拉定理、費馬小定理和中國剩余定理等著名定理。第五章則是域上多項式環(huán)的介紹，這里大部分結(jié)果是整數(shù)環(huán)理論的平行結(jié)果，另外則是多項式零點研究，并給出了根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理。第六章是群論基礎(chǔ)，介紹了元素的階，循環(huán)群的基本性質(zhì)，陪集和群論拉格朗日定理。第七章是對置換和對稱群的介紹，包括置換奇偶性和交錯群。第八章則是對元有限域乘法群的學(xué)習(xí)，包括原根和二次剩余的概念，以及二次互反律的證明。最后一章我們回到對多項式的學(xué)習(xí)，介紹了整系數(shù)多項式和對稱多項式的性質(zhì)。
第一章 預(yù)備知識
1.1 集合與映射
1.1.1 集合的定義
1.1.2 集合的基本運算
1.1.3 一些常用的集合記號
1.1.4 映射，合成律和結(jié)合律
1.1.5 等價關(guān)系，等價類與分拆
1.2 求和與求積符號
1.3 復(fù)數(shù)
1.3.1 復(fù)數(shù)域的定義
1.3.2 復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)平面
習(xí)題
第二章 初識群、環(huán)、域
2.1 群
2.1.1 群的定義和例子
2.1.2 子群與直積
2.2 環(huán)與域
2.2.1.定義和例子
2.2.2 環(huán)的簡單性質(zhì)
2.2.3 多項式環(huán)
2.3 同態(tài)與同構(gòu)
2.3.1 群的同態(tài)與同構(gòu)
2.3.2 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)
習(xí)題
第三章 整數(shù)理論
3.1 整除
3.1.1 帶余除法
3.1.2 最大公因子
3.1.3 歐幾里得算法
3.1.4 最小公倍數(shù)
3.2 素數(shù)與算術(shù)基本定理
習(xí)題
第四章 整數(shù)的同余理論
4.1 同余式
4.2 中國剩余定理
4.3 歐拉定理和費馬小定理
4.4 模算術(shù)和應(yīng)用
4.4.1 模算術(shù)
4.4.2 應(yīng)用舉例
習(xí)題
第五章 域上的多項式環(huán)
5.1 整除性理論
5.1.1 最大公因子
5.1.2 不可約多項式和因式分解
5.2 多項式零點和韋達(dá)定理
5.3 多項式同余理論
5.3.1 多項式的同余
5.3.2 中國剩余定理
5.3.3 低次多項式的不可約性
習(xí)題
第六章 群論基礎(chǔ)
6.1 元素的階和循環(huán)群
6.2 拉格朗日定理
6.2.1 陪集表示
6.2.2 陪集與正規(guī)子群
習(xí)題
第七章 對稱群
7.1 置換及其表示
7.2 置換的奇偶性和交錯群
7.2.1 奇置換與偶置換
7.2.2 交錯群
習(xí)題
第八章 域Fp上的算術(shù)
8.1 乘法群(Z／mZ)x與Fx p的結(jié)構(gòu)
8.1.1 乘法群的結(jié)構(gòu)
8.1.2 原根的計算
8.1.3 高次同余方程求解
8.2 Fx p的平方元與二次剩余
8.3 二次互反律的證明和變例
習(xí)題
第九章 多項式(II)
9.1 整系數(shù)多項式環(huán)Z|x|
9.2 多元多項式
習(xí)題
參考文獻(xiàn)
索引
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