本書(shū)是根據(jù)理工科數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)大綱的要求及學(xué)科發(fā)展需求編寫的,全書(shū)共分十一章,內(nèi)容包括數(shù)學(xué)模型的建立及定解問(wèn)題,方程的分類和化簡(jiǎn),特征線積分法,分離變量法,積分變換法和格林函數(shù)法.為了內(nèi)容的完備性,特意補(bǔ)充了傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)容。
數(shù)學(xué)物理方程主要是指在實(shí)際工程技術(shù)中抽象出的一類偏微分方程,不僅具有很強(qiáng)的理論基礎(chǔ),而且在各領(lǐng)域都有很高的應(yīng)用價(jià)值,在物理學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、材料、工業(yè)技術(shù)、社會(huì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都有它的身影,例如試井分析、石油勘探、醫(yī)學(xué)成像、大型建筑、金融、人口普查等方面都為數(shù)學(xué)物理方程提出了嶄新的研究課題。它與現(xiàn)代科學(xué)工程技術(shù)聯(lián)系十分緊密,是應(yīng)用及其廣泛的應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一。
“數(shù)學(xué)物理方程”使學(xué)生理解掌握與本課程相關(guān)的重要理論的同時(shí),有利于數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成,分析、解決實(shí)際問(wèn)題能力的提高,已然成為高等理工科院校必備的數(shù)學(xué)工具,教學(xué)內(nèi)容中除了包含必要的數(shù)學(xué)物理方程的基本知識(shí)、基本概念和理論外,還重點(diǎn)討論了具有重要應(yīng)用意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的幾種基本解法,
目前理工科高校均開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)物理方程”或“偏微分方程”課程,但“數(shù)學(xué)物理方程”側(cè)重于模型的建立和方程的求解方法,而“偏微分方程”側(cè)重于數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的分析,由于兩者側(cè)重點(diǎn)不同,通常為工科院系開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)物理方程”課程,而且,這門課程的設(shè)置使得其與先修課和后續(xù)課能夠有機(jī)銜接,同時(shí)也為理工科專業(yè)學(xué)生后繼的科研工作奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
本書(shū)共分11個(gè)章節(jié),內(nèi)容包括數(shù)理方程相關(guān)的背景、研究對(duì)象、特點(diǎn);三類典型線性偏微分方程的數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程;二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn);特征線積分法;有界區(qū)域上的分離變量法;積分變換法和格林函數(shù)法。為全書(shū)內(nèi)容的完整性,補(bǔ)充了傅里葉級(jí)數(shù)部分,但由于授課時(shí)數(shù)所限,本書(shū)沒(méi)有涉及廣義函數(shù)等內(nèi)容。因此可適當(dāng)刪減某些章節(jié),靈活掌握。
本書(shū)每節(jié)課后都留有習(xí)題,并備有部分習(xí)題的參考答案,以利于學(xué)生或是自學(xué)人員檢查學(xué)習(xí)成果,此外,由于某些題目計(jì)算得到的方程的解析解,很難從直觀上理解解的分布及其物理意義,因此本書(shū)的某些章節(jié)最后附有MATLAB源程序,把微分方程抽象的理論結(jié)果可視化,使讀者能更直觀地了解“數(shù)學(xué)物理方程”所具有的性態(tài)。而且部分內(nèi)容參考了國(guó)內(nèi)外出版的一些教材和專著,見(jiàn)本書(shū)所附參考文獻(xiàn)。
本書(shū)附錄列出了一階偏微分方程求解、冪級(jí)數(shù)解法和積分變換表。
由于作者水平所限,疏漏和不足之處在所難免,敬請(qǐng)讀者予以批評(píng)指正。
第1章 概論
1.1 數(shù)學(xué)物理方程
1.1.1 方程的分類
1.2 偏微分方程的基本概念
1.2.1 基本概念
1.2.2 算子與線性算子
習(xí)題1
第2章 數(shù)學(xué)模型的建立及定解問(wèn)題
2.1 馬爾薩斯人口模型
2.2 單擺問(wèn)題
2.3 CT成像的重建算法-Lambert-Beer定律
2.4 弦振動(dòng)問(wèn)題
2.5 膜振動(dòng)問(wèn)題
2.6 熱傳導(dǎo)問(wèn)題
2.7 電磁場(chǎng)問(wèn)題
2.8 定解問(wèn)題及問(wèn)題的適定性
2.8.1 定解條件和定解問(wèn)題
2.8.2 定解問(wèn)題的適定性概念
第3章 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn)
3.1 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類
3.2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)
3.3 化二階線性偏微分方程為標(biāo)準(zhǔn)型
習(xí)題3
第4章 特征線積分法
4.1 達(dá)朗貝爾(D'Alembert)公式
4.2 半無(wú)界弦及有界弦的振動(dòng)問(wèn)題
4.3 杜阿梅爾原理及非齊次問(wèn)題的求解
4.4 三維波動(dòng)方程
4.5 降維法
4.6 MATLAB求解
習(xí)題4
第5章 斯圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)問(wèn)題
5.1 斯圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題
5.2 斯圖姆-劉維爾問(wèn)題的性質(zhì)
習(xí)題5
第6章 特殊函數(shù)
6.1 貝塞爾函數(shù)
6.1.1 Γ(Gamma)函數(shù)
6.1.2 貝塞爾函數(shù)
6.1.3 第一類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)
6.2 勒讓德函數(shù)
6.2.1 勒讓德方程的求解
6.2.2 勒讓德多項(xiàng)式
6.2.3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)
習(xí)題6
第7章 傅里葉級(jí)數(shù)
7.1 傅里葉級(jí)數(shù)
7.2 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)
7.3 以2l為周期的級(jí)數(shù)
7.4 有限區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)
習(xí)題7
第8章 分離變量法
8.1 有界弦的自由振動(dòng)
8.1.1 用分離變量法求解齊次弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題
8.1.2 解的物理意義
8.2 有界桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題
8.3 拉普拉斯方程和梁振動(dòng)方程
8.3.1 矩形區(qū)域的拉普拉斯方程
8.3.2 梁的橫振動(dòng)
8.4 MATLAB求解
習(xí)題8
第9章 本征函數(shù)法
9.1 本征函數(shù)法的引入
9.2 非齊次問(wèn)題
9.3 非齊次邊界條件的處理
9.4 MATLAB求解
習(xí)題9
第10章 積分變換法
10.1 傅里葉積分和傅里葉變換
10.2 傅里葉變換的性質(zhì)
10.3 傅里葉變換的應(yīng)用
10.4 MATLAB求解
10.5 拉普拉斯變換
10.6 拉普拉斯變換的性質(zhì)
10.7 拉普拉斯變換的應(yīng)用
10.8 MATLAB求解
習(xí)題10
第11章 格林函數(shù)法
11.1 格林函數(shù)法解常微分方程邊值問(wèn)題
11.2 δ函數(shù)的概念及性質(zhì)
11.2.1 δ函數(shù)的定義
11.2.2 δ函數(shù)的性質(zhì)
11.3 格林函數(shù)法解偏微分方程初值問(wèn)題
11.3.1 一維熱傳導(dǎo)方程的柯西問(wèn)題
11.3.2 一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題
11.4 格林函數(shù)法解偏微分方程邊值問(wèn)題
11.4.1 一維熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題
11.4.2 一維波動(dòng)方程的混合問(wèn)題
11.5 拉普拉斯方程的格林函數(shù)
11.6 MATLAB求解
習(xí)題11
參考答案
附錄一 一階偏微分方程求解
1 一階常微分方程組的首次積分
2 一階線性齊次偏微分方程
附錄二 冪級(jí)數(shù)解法
附錄三 積分變換表
參考文獻(xiàn)