全書共有18章,主要內(nèi)容為:可測(cè)集與可測(cè)函數(shù)、勒貝格積分、可和函數(shù)與平方可和函數(shù)、有界變差函數(shù)與斯蒂爾切斯積分、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分等。
從上世紀(jì)50年代初起,在當(dāng)時(shí)全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的大背景下,國內(nèi)的高等學(xué)校大量采用了翻譯過來的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教材。這些教材體系嚴(yán)密,論證嚴(yán)謹(jǐn),有效地幫助了青年學(xué)子打好扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才。到了60年代,國內(nèi)開始編纂出版的大學(xué)數(shù)學(xué)教材逐步代替了原先采用的蘇聯(lián)教材,但還在很大程度上保留著蘇聯(lián)教材的影響,同時(shí),一些蘇聯(lián)教材仍被廣大教師和學(xué)生作為主要參考書或課外讀物繼續(xù)發(fā)揮著作用?陀^地說,從解放初一直到文化大革命前夕,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教材在培養(yǎng)我國高級(jí)專門人才中發(fā)揮了重要的作用,起了不可忽略的影響,是功不可沒的。
改革開放以來,通過接觸并引進(jìn)在體系及風(fēng)格上各有特色的歐美數(shù)學(xué)教材,大家眼界為之一新,并得到了很大的啟發(fā)和教益。但在很長一段時(shí)間中,盡管蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)也在進(jìn)行積極的探索與改革,引進(jìn)卻基本中斷,更沒有及時(shí)地進(jìn)行跟蹤,能看懂俄文數(shù)學(xué)教材原著的人也越來越少,事實(shí)上已造成了很大的隔膜,不能不說是一個(gè)很大的缺憾。
事情終于出現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)折的契機(jī)。今年初,在由中國數(shù)學(xué)會(huì)、中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)及國家自然科學(xué)基金委員會(huì)數(shù)學(xué)天元基金聯(lián)合組織的迎春茶話會(huì)上,有數(shù)學(xué)家提出,莫斯科大學(xué)為慶祝成立250周年計(jì)劃推出一批優(yōu)秀教材,建議將其中的一些數(shù)學(xué)教材組織翻譯出版。這一建議在會(huì)上得到廣泛支持,并得到高等教育出版社的高度重視。會(huì)后高等教育出版社和數(shù)學(xué)天元基金一起邀請(qǐng)熟悉俄羅斯數(shù)學(xué)教材情況的專家座談?dòng)懻,大家一致認(rèn)為:在當(dāng)前著力引進(jìn)俄羅斯的數(shù)學(xué)教材,有助于擴(kuò)大視野,開拓思路,對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)數(shù)學(xué)教材改革均十分必要!抖砹_斯數(shù)學(xué)教材選譯》系列正是在這樣的情況下,經(jīng)數(shù)學(xué)天元基金資助,由高等教育出版社組織出版的。
那湯松(1906-1964),本書的作者N.ㄇ.那湯松是俄羅斯(蘇聯(lián)時(shí)期)杰出的數(shù)學(xué)家1929年畢業(yè)于列寧格勒大學(xué)(今圣彼得堡大學(xué))數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)教育家廠M菲赫金哥爾茨是他的第一個(gè)老師、從大學(xué)時(shí)代起,他在數(shù)學(xué)家CH伯恩斯坦院士的影響下,開始了函數(shù)構(gòu)造論的研究,這個(gè)領(lǐng)域的研究貫穿了他的一生1935年不經(jīng)論文答辯而直接被授予數(shù)學(xué)物理副博士學(xué)位,1937年經(jīng)論文答辯獲得博士學(xué)位,1939年成為教授他的研究領(lǐng)域頗為廣泛:正交多項(xiàng)式、內(nèi)插方法、矩問題、吉布斯現(xiàn)象及逼近論的其他問題;還有作為純粹數(shù)學(xué)的函數(shù)論與泛函分析
他以一系列出色的教科書與學(xué)術(shù)著作而知名他的重要著作有《實(shí)變函數(shù)論》和《函數(shù)構(gòu)造論》,前者影響及于好幾代數(shù)學(xué)家,后者曾引導(dǎo)許多后來成為第一流數(shù)學(xué)家的人進(jìn)入研究領(lǐng)域、此外他還有一系列數(shù)學(xué)科普著作問世
無論是著書還是講課,他都是論述詳盡、明晰而又字斟句酌、精雕細(xì)刻、言簡意賅,充分表現(xiàn)了他的教育才能函數(shù)構(gòu)造論的列寧格勒(圣彼得堡)學(xué)派在很大程度上是由他的學(xué)生組成的。
《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯》序
初版序言摘要
第2版序言
第一章 無窮集
1.集的運(yùn)算
2.一一對(duì)應(yīng)
3.可數(shù)集
4.連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)
5.勢(shì)的比較
第二章 點(diǎn)集
1.極限點(diǎn)
2.閉集
3.內(nèi)點(diǎn)及開集
4.距離及隔離性
5.有界開集及有界閉集的結(jié)構(gòu)
6.凝聚點(diǎn)、閉集的勢(shì)
第三章 可測(cè)集
1.有界開集的測(cè)度
2.有界閉集的測(cè)度
3.有界集的內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度
4.可測(cè)集
5.可測(cè)性及測(cè)度對(duì)于運(yùn)動(dòng)的不變性
6.可測(cè)集類
7.測(cè)度問題的一般注意
8.維塔利定理
第四章 可測(cè)函數(shù)
1.可測(cè)函數(shù)的定義及最簡單的性質(zhì)
2.可測(cè)函數(shù)的其他性質(zhì)
3.可測(cè)函數(shù)列、依測(cè)度收斂
4.可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)
5.魏爾斯特拉斯定理
第五章 有界函數(shù)的勒貝格積分
1.勒貝格積分的定義
2.積分的基本性質(zhì)
3.在積分號(hào)下取極限
4.黎曼積分與勒貝格積分的比較
5.求原函數(shù)的問題
第六章 可和函數(shù)
1.非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分
2.任意符號(hào)的可和函數(shù)
3.在積分號(hào)下取極限
第七章 平方可和函數(shù)
1.主要定義、不等式、范數(shù)
2.均方收斂
3.正交系
4.空間ι2
5.線性無關(guān)組
56.空間Lp與ιp
第八章 有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分
1.單調(diào)函數(shù)
2.集的映射、單調(diào)函數(shù)的微分
3.有界變差函數(shù)
4.黑利的選擇原理
5.有界變差的連續(xù)函數(shù)
6.斯蒂爾切斯積分
7.在斯蒂爾切斯積分號(hào)下取極限
8.線性泛函
第九章 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)、勒貝格不定積分
1.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
2.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的微分性質(zhì)
3.連續(xù)映射
4.勒貝格不定積分
5.勒貝格積分的變量變換
6.稠密點(diǎn)、近似連續(xù)
7.有界變差函數(shù)及斯蒂爾切斯積分的補(bǔ)充
8.求原函數(shù)的問題
第十章 奇異積分、三角級(jí)數(shù)、凸函數(shù)
1.奇異積分的概念
2.用奇異積分在給定點(diǎn)表示函數(shù)
3.在傅里葉級(jí)數(shù)論中的應(yīng)用
4.三角級(jí)數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)的其他性質(zhì)
5.施瓦茨導(dǎo)數(shù)及凸函數(shù)
6.函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開的唯一性
第十一章 二維空間的點(diǎn)集
1.閉集
2.開集
3.平面點(diǎn)集的測(cè)度論
4.可測(cè)性及測(cè)度對(duì)于運(yùn)動(dòng)的不變性
5.平面點(diǎn)集的測(cè)度與其截線的測(cè)度間的聯(lián)系
第十二章 多元可測(cè)函數(shù)及其積分
1.可測(cè)函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的拓廣
2.勒貝格積分及其幾何意義
3.富比尼定理
4.積分次序的變更
第十三章 集函數(shù)及其在積分論中的應(yīng)用
1.絕對(duì)連續(xù)的集函數(shù)
2.不定積分及其微分
3.上述結(jié)果的推廣
第十四章 超限數(shù)
1.有序集、序型
2.良序集
3.序數(shù)
4.超限歸納法
5.第二數(shù)類
6.阿列夫
7.策梅洛公理和定理
第十五章 貝爾分類
1.貝爾類
2.貝爾類的不空性
3.第一類的函數(shù)
4.半連續(xù)函數(shù)
第十六章 勒貝格積分的某些推廣
1.引言
2.佩龍積分的定義
3.佩龍積分的基本性質(zhì)
4.佩龍不定積分
5.佩龍積分與勒貝格積分的比較
6.積分的抽象定義及其推廣
7.狹義的當(dāng)茹瓦積分
8.T.哈蓋定理
9.Ⅱ.C.亞歷山德羅夫-T.羅曼定理
10.廣義的當(dāng)茹瓦積分的概念
第十七章 在無界區(qū)域上定義的函數(shù)
1.無界集的測(cè)度
2.可測(cè)函數(shù)
3.在無界集上的積分
4.平方可和函數(shù)
5.有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分
6.不定積分及絕對(duì)連續(xù)的集函數(shù)
第十八章 泛函分析的某些知識(shí)
1.度量空間及其特殊情形——賦范線性空間
2.緊性
3.某些空間的緊性條件
4.巴拿赫的“不動(dòng)點(diǎn)原理”及其某些應(yīng)用
附錄
I.曲線弧的長
II.施坦豪斯例子
III.關(guān)于凸函數(shù)的某些補(bǔ)充知識(shí)
補(bǔ)充 豪斯多夫定理
外國數(shù)學(xué)家譯名對(duì)照表
名詞索引
第5版校訂后記