目錄
前言
第1章 集合論基礎(chǔ) 1
1.1 集合及其運算 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的表示 2
1.1.3 集合的運算 3
習(xí)題 1.1 10
1.2 集合的基數(shù) 11
1.2.1 對等性 12
1.2.2 基數(shù)的概念 13
1.2.3 基數(shù)的比較 13
習(xí)題 1.2 15
1.3 可數(shù)集合 16
習(xí)題 1.3 20
1.4 基數(shù)為 c 的集合 20
習(xí)題 1.4 25
總練習(xí)題 1 26
第2章 Rn中的點集理論 27
2.1 基本概念 27
2.1.1 n維歐氏空間 Rn 27
2.1.2 點列的收斂性 28
2.1.3 點集的幾種特殊點 29
2.1.4 基本結(jié)論 30
習(xí)題 2.1 31
2.2 開集、閉集與完備集 32
2.2.1 開集與閉集 32
2.2.2 Gδ型集、Fδ型集與博雷爾集 34
2.2.3 自密集與完備集 35
習(xí)題 2.2 37
2.3 閉集套原理與覆蓋定理 38
習(xí)題 2.3 40
2.4 開集的構(gòu)造 40
習(xí)題 2.4 42
2.5 點集上的連續(xù)函數(shù) 42
習(xí)題 2.5 46
2.6 點集間的距離 46
習(xí)題 2.6 48
總練習(xí)題 2 49
第3章 測度理論 50
3.1 外測度的定義與性質(zhì) 50
3.1.1 外測度的定義 50
3.1.2 外測度的性質(zhì) 53
習(xí)題 3.1 56
3.2 可測集的定義及性質(zhì) 56
3.2.1 可測集的定義 56
3.2.2 可測集的運算性質(zhì) 57
習(xí)題 3.2 62
3.3 可測集類 63
習(xí)題 3.3 67
3.4 可測集的構(gòu)造 67
習(xí)題 3.4 73
總練習(xí)題 3 74
第4章 可測函數(shù) 76
4.1 可測函數(shù)的概念與運算 76
4.1.1 簡單函數(shù) 76
4.1.2 可測函數(shù)的概念與運算性質(zhì) 78
習(xí)題 4.1 79
4.2 可測函數(shù)的刻畫與性質(zhì) 80
4.2.1 預(yù)備定理 80
4.2.2 非負(fù)可測函數(shù)的刻畫 80
4.2.3 一般可測函數(shù)的刻畫 83
4.2.4 可測函數(shù)的性質(zhì) 85
習(xí)題 4.2 87
4.3 葉果洛夫定理 88
4.3.1 幾乎處處的概念 88
4.3.2 葉果洛夫定理 89
習(xí)題 4.3 93
4.4 依測度收斂性 93
習(xí)題 4.4 98
4.5 魯金定理 99
習(xí)題 4.5 104
總練習(xí)題 4 105
第5章 勒貝格積分 106
5.1 非負(fù)可測函數(shù)的積分 106
5.1.1 定義與例子 106
5.1.2 基本性質(zhì) 109
習(xí)題 5.1 116
5.2 一般可測函數(shù)的積分 116
習(xí)題 5.2 122
5.3 例子 123
習(xí)題 5.3 129
5.4 勒貝格控制收斂定理 130
習(xí)題 5.4 136
5.5 R-積分與L-積分的關(guān)系 137
習(xí)題 5.5 146
5.6 富比尼定理 147
習(xí)題 5.6 150
5.7 有界變差函數(shù) 151
習(xí)題 5.7 156
5.8 絕對連續(xù)函數(shù) 157
習(xí)題 5.8 163
總練習(xí)題5 164
第6章 空間理論 166
6.1 距離空間 166
6.1.1 定義與例子 166
6.1.2 完備距離空間 168
6.1.3 開集與閉集 171
6.1.4 可分距離空間 173
6.1.5 連續(xù)映射 173
6.1.6 列緊空間 176
6.1.7 壓縮映射原理 179
習(xí)題 6.1 183
6.2 賦范線性空間 185
6.2.1 定義與例子 185
6.2.2 有限維賦范線性空間 190
習(xí)題 6.2 193
6.3 內(nèi)積空間 196
6.3.1 內(nèi)積空間的概念與基本性質(zhì) 196
6.3.2 正交分解 200
6.3.3 正規(guī)正交系 202
習(xí)題 6.3 208
6.4 拓?fù)淇臻g簡介 209
6.4.1 拓?fù)淇臻g 209
6.4.2 連續(xù)映射與同胚 212
習(xí)題 6.4 212
總練習(xí)題 6 213
第7章 巴拿赫空間上的有界線性算子理論 216
7.1 有界線性算子 217
7.1.1 定義、例子與基本性質(zhì) 217
7.1.2 有界線性算子的范數(shù) 221
7.1.3 算子空間與巴拿赫代數(shù) 225
習(xí)題 7.1 228
7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理 230
7.2.1 線性泛函的延拓 230
7.2.2 有界線性泛函的存在性 235
習(xí)題 7.2 236
7.3 有界線性泛函的表示 237
7.3.1 n維空間 Kn上的有界線性泛函 237
7.3.2 lp(K)上的有界線性泛函 (1 < p < ) 238
7.3.3 Lp[a，b]上的有界線性泛函 (1 < p < 1) 240
7.3.4 C[a，b]上的有界線性泛函 244
7.3.5 希爾伯特空間上有界線性泛函的表示 244
習(xí)題 7.3 245
7.4 共軛空間與共軛算子 246
7.4.1 共軛空間 246
7.4.2 共軛算子 250
習(xí)題 7.4 253
7.5 逆算子定理與開映射定理 255
7.5.1 逆算子的概念與基本性質(zhì) 255
7.5.2 逆算子的有界性 256
習(xí)題 7.5 261
7.6 閉圖像定理與一致有界原理 262
7.6.1 閉算子與閉圖像定理 262
7.6.2 一致有界原理及其應(yīng)用 264
習(xí)題 7.6 266
7.7 強弱收斂與弱*收斂 267
7.7.1 點列的弱收斂 267
7.7.2 算子列的強、弱收斂 269
7.7.3 泛函列的強、弱收斂與弱*收斂 272
習(xí)題 7.7 272
7.8 緊算子 273
7.8.1 定義與例子 273
7.8.2 緊算子的性質(zhì) 275
習(xí)題 7.8 277
總練習(xí)題 7 279
第8章 非線性算子 281
8.1 連續(xù)性與有界性 281
8.1.1 定義與例子 281
8.1.2 連續(xù)算子的性質(zhì) 282
8.1.3 一類復(fù)合算子的連續(xù)性與有界性 283
習(xí)題 8.1 286
8.2 緊性與全連續(xù)性 287
8.2.1 定義與基本性質(zhì) 287
8.2.2 完全連續(xù)算子的結(jié)構(gòu) 289
習(xí)題 8.2 292
8.3 抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 293
8.3.1 實變抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 293
8.3.2 復(fù)變抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 296
習(xí)題 8.3 298
8.4 抽象函數(shù)的積分 299
8.4.1 定義與例子 299
8.4.2 可積條件 300
8.4.3 運算性質(zhì) 303
習(xí)題 8.4 305
8.5 費雷歇導(dǎo)算子 305
8.5.1 定義與性質(zhì) 305
8.5.2 中值定理與導(dǎo)算子的完全連續(xù)性 313
8.5.3 高階導(dǎo)算子與泰勒公式 315
習(xí)題 8.5 318
8.6 加特導(dǎo)算子 320
8.6.1 定義與性質(zhì) 320
8.6.2 兩種微分之間的關(guān)系 321
習(xí)題 8.6 326
8.7 偏導(dǎo)算子與隱算子定理 326
8.7.1 偏導(dǎo)算子 327
8.7.2 隱算子存在定理 329
8.7.3 反算子存在定理 334
習(xí)題 8.7 335
總練習(xí)題 8 336
參考文獻(xiàn) 338
附錄 339
1. 偏序集與佐恩引理 339
2. 泛函延拓定理的證明 342
3. 算子譜論簡介 343
4. 希爾伯特空間上的有界線性算子簡介 346
5. 中外文人名對照表 348