第3章隨機(jī)向量
　　在實(shí)際問(wèn)題中，有些試驗(yàn)的結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述，如射擊試驗(yàn)彈著點(diǎn)的具體位置要由它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來(lái)確定。又如，為了考察煉出的每爐鋼的質(zhì)量，需要考慮含碳量、含硫量和硬度等基本指標(biāo)，這就涉及3個(gè)隨機(jī)變量——含碳量、含硫量和硬度；如果還需要考察其他指標(biāo)，則應(yīng)引入更多的隨機(jī)變量。在研究的問(wèn)題中，由于這些隨機(jī)變量之間通常存在著某種內(nèi)部聯(lián)系，因此需要把這些隨機(jī)變量看作一個(gè)整體來(lái)加以研究。
　　若和都是隨機(jī)變量，則由、組成的一個(gè)整體稱為二維隨機(jī)向量。二維隨機(jī)向量中，、均稱為它的分量。在討論二維隨機(jī)變量時(shí)，可以把看作是平面上具有隨機(jī)坐標(biāo)的點(diǎn)。
　　一般來(lái)說(shuō)，對(duì)某一隨機(jī)試驗(yàn)涉及的n個(gè)隨機(jī)變量，記為，稱為n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量。
　　顯然，第2章所討論的隨機(jī)變量是一維隨機(jī)變量。和一維隨機(jī)變量類似，二維隨機(jī)向量也可分為連續(xù)型和離散型等幾類。為了敘述方便，本章主要討論二維隨機(jī)向量，至于多維隨機(jī)向量不難類推。
　　3.1二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)
　　二維隨機(jī)向量中的兩個(gè)隨機(jī)變量和是有聯(lián)系的，它們是定義在同一樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量。其性質(zhì)不僅與的性質(zhì)及的性質(zhì)有關(guān)，而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，因此僅僅逐個(gè)研究和的性質(zhì)是不夠的，必須把作為一個(gè)整體加以研究。
　　首先引入其分布函數(shù)的概念。
　　定義3.1設(shè)是二維隨機(jī)向量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，稱二元函數(shù)
　　()(3.1)
　　為的分布函數(shù)。
　　分布函數(shù)表示事件和事件同時(shí)發(fā)生的概率。如果將看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，取定,就是點(diǎn)落在平面上，以為頂點(diǎn)，且位于該點(diǎn)左下方無(wú)限矩形區(qū)域上的概率，如圖3.1所示。
　　由上面的幾何解釋可知，隨機(jī)點(diǎn)落在矩形區(qū)域、內(nèi)的概率為
　　(3.2)
　　分布函數(shù)的性質(zhì)如下。
　　(1)是變量x、y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x1《x2時(shí)，≤；對(duì)于任意固定的x，當(dāng)y1《y2時(shí)，≤。
　　(2)0≤≤1(＜x＜,＜y＜)。(3.3)
　　(3)對(duì)于固定的y，有
　　F()=
　　對(duì)于固定的x，有
　　F(x,)=
　　還有
　　F(,)=
　　F(,)=
　　由以上可知,當(dāng)變量時(shí)，在圖3.1中隨機(jī)點(diǎn)落在矩形內(nèi)這一事件趨于不可能事件，其概率為零；而當(dāng)時(shí)，圖3.1中的矩形擴(kuò)展到全平面，隨機(jī)點(diǎn)落在矩形內(nèi)這一事件趨于必然事件，其概率為1。
　　二維隨機(jī)向量也分為離散型與連續(xù)型，下面分別加以討論。
　　3.2二維離散型隨機(jī)向量
　　如果二維隨機(jī)向量的每個(gè)分量都是離散型隨機(jī)變量，則稱是二維離散型隨機(jī)向量。因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量只能取有限或可列無(wú)窮個(gè)值，因此二維離散型隨機(jī)向量所有可能取的值也是有限或可列無(wú)窮個(gè)。
　　定義3.2設(shè)二維離散型隨機(jī)向量所有可能取的值為，記為
　　()(3.4)
　　稱式(3.4)為二維離散型隨機(jī)向量的概率分布或聯(lián)合分布律。
　　的聯(lián)合分布律如表3.1所示。
　　表3.1的聯(lián)合分布律
　　的聯(lián)合分布律具有下列性質(zhì)。
　　(1)。(3.5)
　　(2)。(3.6)
　　二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率分布之間具有如下關(guān)系式
　　(3.7)
　　其中和式對(duì)一切滿足的i和j求和。
　　例3.1一盒中有3個(gè)球,它們依次標(biāo)有數(shù)字1、2、2。從這盒中任取一球后，不返回盒中，再?gòu)暮兄腥稳∫磺颉ＴO(shè)每次取球時(shí)，盒中各球被取到的可能性相同。以、分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布律。
　　解可能取的值為(1,2)、(2,1)、(2,2)，對(duì)應(yīng)的概率分別為：
　　第一次取1的概率是，第一次已取得1后，第二次取得2的概率是1。按乘法定理，得。
　　第一次取2的概率是，第一次已取得2后，第二次取得1(或2)的概率是。
　　即；。
　　的聯(lián)合分布律如表3.2所示。
　　表3.2的聯(lián)合分布律
　　Y
　　X
　　1
　　2
　　1
　　0
　　2
　　例3.2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中7件正品、3件次品。現(xiàn)從中任取兩次，每次取一件產(chǎn)品，取后不放回。令
　　X=1，若第一次取到的產(chǎn)品是次品；
　　X=0，若第一次取到的產(chǎn)品是正品；
　　Y=1，若第二次取到的產(chǎn)品是次品；
　　Y=0，若第二次取到的產(chǎn)品是正品。
　　求二維隨機(jī)向量的概率分布。
　　解所有可能取的值是(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。
　　先求，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，這是古典概型，易得
　　同理，可分別求得
　　的聯(lián)合分布律如表3.3所示。
　　表3.3的聯(lián)合分布律
　　Y
　　X
　　0
　　1
　　0
　　1
　　3.3二維連續(xù)型隨機(jī)向量及其分布函數(shù)
　　3.3.1二維連續(xù)型隨機(jī)向量
　　與一維連續(xù)型隨機(jī)變量類似，對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)向量，也用一個(gè)“密度”函數(shù)來(lái)全面描述它的取值概率。
　　定義3.3對(duì)于二維隨機(jī)向量，若存在一個(gè)定義于全平面(,)的非負(fù)可積的二元函數(shù)，為任意平面區(qū)域，都有
　　(3.8)
　　則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)向量,并稱為的聯(lián)合概率密度,簡(jiǎn)稱聯(lián)合密度。
　　可見(jiàn)，如果知道二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度，那么它落入?yún)^(qū)域內(nèi)的概率只需計(jì)算一個(gè)二重積分即可。其幾何意義是以曲面為頂、以區(qū)域?yàn)榈椎那�頂柱體的體積，如圖3.2所示。
　　與一維隨機(jī)變量類似，聯(lián)合密度具有如下基本性質(zhì)。
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