定 價(jià):29 元
叢書(shū)名:普通高!笆濉睂(shí)用規(guī)劃教材
- 作者:紀(jì)德云, 張良主編
- 出版時(shí)間:2017/8/1
- ISBN:9787302475200
- 出 版 社:清華大學(xué)出版社
- 中圖法分類:O151.2
- 頁(yè)碼:139
- 紙張:膠版紙
- 版次:2
- 開(kāi)本:16K
本書(shū)是根據(jù)教育部有關(guān)的教學(xué)大綱及*新全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)三)大綱的要求,總結(jié)作者多年講授線性代數(shù)課程的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成的。
全書(shū)介紹了行列式、矩陣及其運(yùn)算、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量以及二次型等線性代數(shù)的基礎(chǔ)理論與方法。
本書(shū)語(yǔ)言敘述力求深入淺出、通俗易懂,內(nèi)容編排力求層次清晰、簡(jiǎn)明扼要,例題與習(xí)題選取力求少而精。本書(shū)可作為經(jīng)濟(jì)管理類本科生的試用教材。
本書(shū)是根據(jù)教育部有關(guān)的教學(xué)大綱及*新全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)三)大綱的要求,總結(jié)作者多年講授線性代數(shù)課程的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成的。
線性代數(shù)課程有以下特征。
(1)內(nèi)容抽象、前后關(guān)聯(lián)、相互滲透。
(2)概念多、定理多、符號(hào)多。
(3)計(jì)算原理簡(jiǎn)單,但計(jì)算量較大。
(4)證明一般需要較高的技巧。
(5)應(yīng)用廣泛。
為了學(xué)好這門(mén)比較抽象的課程,本書(shū)力求做到以下幾點(diǎn)。
(1)注重線性代數(shù)思想與方法的介紹。
(2)內(nèi)容精練,結(jié)構(gòu)完整,推理簡(jiǎn)明,通俗易懂。
(3)語(yǔ)言敘述深入淺出,便于自學(xué)。
(4)例題選取做到少而精。
(5)注重應(yīng)用。
第2版是對(duì)本書(shū)2015年4月第1版的修訂。修正了第1版的一些錯(cuò)誤與不妥之處;颈3至说谝话娴娘L(fēng)格與體系。
第2版前言
線性代數(shù)主要研究變量間的線性關(guān)系。由于線性關(guān)系存在于自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,且大量的非線性問(wèn)題在一定條件下也可轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題來(lái)處理,于是線性代數(shù)理論方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)的各領(lǐng)域中,尤其與金融、證券、投資、運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科相互滲透或結(jié)合得緊密。因此,“線性代數(shù)”已成為經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)重要基礎(chǔ)課,它被列為碩士研究生入學(xué)考試的必考課程。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),希望學(xué)生能掌握線性代數(shù)的基本思想與方法,并且具備一定的分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
本書(shū)是根據(jù)教育部有關(guān)的教學(xué)大綱及最新全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)三)大綱的要求,總結(jié)作者多年講授線性代數(shù)課程的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成的。
線性代數(shù)課程有以下特征。
(1)內(nèi)容抽象、前后關(guān)聯(lián)、相互滲透。
(2)概念多、定理多、符號(hào)多。
(3)計(jì)算原理簡(jiǎn)單,但計(jì)算量較大。
(4)證明一般需要較高的技巧。
(5)應(yīng)用廣泛。
為了學(xué)好這門(mén)比較抽象的課程,本書(shū)力求做到以下幾點(diǎn)。
(1)注重線性代數(shù)思想與方法的介紹。
(2)內(nèi)容精練,結(jié)構(gòu)完整,推理簡(jiǎn)明,通俗易懂。
(3)語(yǔ)言敘述深入淺出,便于自學(xué)。
(4)例題選取做到少而精。
(5)注重應(yīng)用。
第2版是對(duì)本書(shū)2015年4月第1版的修訂。修正了第1版的一些錯(cuò)誤與不妥之處;颈3至说谝话娴娘L(fēng)格與體系。
參加第2版修訂工作的有:劉玉蓉老師(修訂第1章),趙春昶老師(修訂第2章),張良老師(修訂第3章、第4章),紀(jì)德云老師(修訂第5章),最后由紀(jì)德云老師、張良老師修改定稿。在修訂過(guò)程中,承蒙程從沈老師的大力幫助,在此表示衷心感謝!
由于編者水平有限,書(shū)中難免有不妥之處,敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。
編者
第1版前言
線性代數(shù)主要研究變量間的線性關(guān)系。由于線性關(guān)系存在于自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,且大量的非線性問(wèn)題在一定條件下也可轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題來(lái)處理,于是線性代數(shù)理論方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)的各領(lǐng)域中,尤其與金融、證券、投資、運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科相互滲透或結(jié)合。因此,線性代數(shù)已成為經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)重要基礎(chǔ)課,它被列為碩士研究生入學(xué)考試的必考課程。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),希望學(xué)生能掌握線性代數(shù)的基本思想與方法,并且具備一定的分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
本書(shū)是根據(jù)教育部有關(guān)的教學(xué)大綱及最新全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)三)大綱的要求,總結(jié)作者多年講授線性代數(shù)課程的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成的。
線性代數(shù)課程有如下特征。
(1)內(nèi)容抽象、前后關(guān)聯(lián)、相互滲透;
(2)概念多、定理多、符號(hào)多;
(3)計(jì)算原理簡(jiǎn)單,但計(jì)算量較大;
(4)證明一般需要較高的技巧;
(5)應(yīng)用廣泛。
為了學(xué)好這門(mén)比較抽象的課程,本書(shū)力求做到以下幾點(diǎn)。
(1)注重線性代數(shù)思想與方法的介紹;
(2)內(nèi)容精練,結(jié)構(gòu)完整,推理簡(jiǎn)明,通俗易懂;
(3)語(yǔ)言敘述深入淺出,便于自學(xué);
(4)例題選取做到少而精;
(5)注重應(yīng)用。
全書(shū)由馬毅老師和張良老師主持編寫(xiě)。其中第1章由劉玉蓉老師撰寫(xiě),第2章由趙春昶老師撰寫(xiě),第3~5章由張良老師撰寫(xiě),最后由馬毅老師和張良老師修改定稿。在編寫(xiě)過(guò)程中,承蒙程從沈老師的大力幫助,在此表示衷心感謝!
由于編者水平有限,書(shū)中難免有不妥之處,懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正。
編者
目錄
第1章行列式1
1.1二階與三階行列式1
1.2排列及其逆序數(shù)2
1.3n階行列式3
1.4行列式的性質(zhì)5
1.5行列式按行(列)展開(kāi)8
1.6克萊姆法則12
小結(jié)15
階梯化訓(xùn)練題18
第2章矩陣23
2.1矩陣的概念23
2.2矩陣的運(yùn)算24
2.3矩陣分塊法29
2.4可逆矩陣31
2.5矩陣的初等變換34
2.6矩陣的秩38
小結(jié)40
階梯化訓(xùn)練題45
第3章線性方程組54
3.1線性方程組的消元解法54
3.2向量及其運(yùn)算58
3.3向量組的線性相關(guān)性60
3.4向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組65
3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)68
小結(jié)77
階梯化訓(xùn)練題82
第4章矩陣的特征值91
4.1矩陣的特征值與特征向量91
4.2相似矩陣與矩陣對(duì)角化95
4.3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量98
小結(jié)103
階梯化訓(xùn)練題106
第5章二次型111
5.1二次型與對(duì)稱矩陣111
5.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形113
5.3二次型與對(duì)稱矩陣的正定性117
小結(jié)119
階梯化訓(xùn)練題120
各章階梯化訓(xùn)練題參考答案124
第1章行列式
數(shù)學(xué)是從人們的需要中產(chǎn)生的,行列式是人們從解線性方程組的需要中建立起來(lái)的。
1.1二階與三階行列式
1.二階行列式
用記號(hào)表示代數(shù)和,稱記號(hào)為二階行列式,即
(1-1)
可借助對(duì)角線法則來(lái)記憶,參看圖1-1。
圖1-1
等于實(shí)連線上兩元素乘積與虛連線上兩元素乘積之差。
例1-1計(jì)算二階行列式。
解
2.三階行列式
用記號(hào)表示代數(shù)和,稱它為三階行列式,即
(1-2)
三階行列式含有6項(xiàng),每項(xiàng)均為不同行、不同列的3個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào),其規(guī)律遵循如圖1-2所示的對(duì)角線法則:圖中各實(shí)線連接的3個(gè)元素的乘積是代數(shù)和的正項(xiàng),各虛線連接的3個(gè)元素的乘積是代數(shù)和的負(fù)項(xiàng)。
圖1-2
例1-2計(jì)算三階行列式。
解
例1-3解方程。
解由,解得或。
對(duì)角線法則只適用于二階和三階行列式,為研究更高階行列式,下面將介紹有關(guān)排列及逆序數(shù)的知識(shí)。
1.2排列及其逆序數(shù)
定義1-1由個(gè)自然數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列。
例如,2341及4321都是4級(jí)排列,54231是一個(gè)5級(jí)排列。
定義1-2在一個(gè)級(jí)排列中,若較大的數(shù)排在較小的數(shù)前面,那么它們就構(gòu)成一個(gè)逆序,一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。
排列的逆序數(shù)記作。
求排列逆序數(shù)的方法:若比1大而排在1前面的數(shù)有個(gè),比2大而排在2前面的數(shù)有個(gè),比3大而排在3前面的數(shù)有個(gè),……,則這個(gè)排列的逆序數(shù)為+++…。
例1-4求下列排列的逆序數(shù)。
(1)45312;(2)7654321。
解(1)
(2)
定義1-3若為奇數(shù),則稱排列為奇排列;若為偶數(shù),則稱排列為偶排列。
例如,排列7654321是奇排列,排列45312是偶排列。
定義1-4將一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)互換位置,這種對(duì)排列的變換稱為對(duì)換。
定理1-1任一排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后,其奇偶性改變。
證明先證相鄰對(duì)換的情形。
設(shè)排列,對(duì)換與,變?yōu)榕帕小o@然,和這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變,而、兩數(shù)的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)時(shí),經(jīng)過(guò)對(duì)換后的逆序數(shù)增加1而的逆序數(shù)不變;當(dāng)時(shí),經(jīng)過(guò)對(duì)換后的逆序數(shù)不變而的逆序數(shù)減少1,所以排列與排列的奇偶性不同。
再證一般對(duì)換的情形。
設(shè)排列,把它作次相鄰對(duì)換,變成,再作次相鄰對(duì)換,變成?傊,經(jīng)過(guò)次相鄰對(duì)換,排列變成,所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反。
定理1-2級(jí)排列共有個(gè),并且當(dāng)時(shí),在個(gè)不同的排列中,奇排列與偶排列各占一半。
1.3n階行列式
為了給出階行列式的定義,先來(lái)研究三階行列式的結(jié)構(gòu)。三階行列式的定義為
容易看出以下幾點(diǎn)。
(1)三階行列式表示所有位于不同行、不同列的3個(gè)元素乘積的代數(shù)和。3個(gè)元素的乘積可以表示為,為3級(jí)排列,當(dāng)遍取3級(jí)排列時(shí),即得到三階行列式的所有項(xiàng)(不包括正負(fù)號(hào)),共為項(xiàng)。
(2)各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列下標(biāo)的排列對(duì)照如下。
帶正號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)排列:123,231,312。
帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)排列:321,213,132。
前3個(gè)排列都是偶排列,后3個(gè)排列都是奇排列。因此,各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為,其中為列下標(biāo)排列的逆序數(shù)。
總之,三階行列式可以寫(xiě)成
其中表示對(duì)3級(jí)排列求和。
仿此,可把行列式推廣到一般情形。
定義1-5令=(1-3)
式(1-3)的左端稱為階行列式,其中橫排稱為行,縱排稱為列,稱為行列式的第行第列元素;式(1-3)的右端稱為階行列式的展開(kāi)式,其中是一個(gè)級(jí)排列,表示對(duì)所有級(jí)排列求和。
[注]
(1)行列式的展開(kāi)式是行列式中一切不同行、不同列元素的乘積前面加上符號(hào)的代數(shù)和。
(2)階行列式的展開(kāi)式共有項(xiàng),當(dāng)時(shí),項(xiàng)中一半前面的符號(hào)取正號(hào),另一半取負(fù)號(hào)。
(3)式(1-3)左端的階行列式可簡(jiǎn)記為。
例1-5證明下三角行列式
(1-4)
證明由于當(dāng)時(shí),,故中可能不為0的元素,其下標(biāo)應(yīng)有,即,,。
在所有排列中,能滿足上述關(guān)系的排列只有一個(gè)自然排列,所以中可能不為0的項(xiàng)只有一項(xiàng)。此項(xiàng)的符號(hào)為正,所以
同理,可得上三角行列式
(1-5)
特別是對(duì)角行列式,即
(1-6)
這些結(jié)論在以后行列式的計(jì)算中可直接應(yīng)用。
……