第2章 土中的應力計算

　　學習要點

　　掌握不同情況下土中自重應力的計算方法以及分布規(guī)律；熟悉基底壓力的分布形式，掌握基底壓力和基底附加壓力計算方法；掌握各種荷載分布形式下地基中附加應力的分布規(guī)律及計算方法，理解應力擴散的概念；熟悉太沙基有效應力原理。

　　2.1 概 述

　　土中的應力分析是土工設計的一項重要內(nèi)容。土體作為建筑物的地基，在建筑物載荷作用下將產(chǎn)生應力、變形，使建筑物發(fā)生沉降、傾斜、水平位移。土體的變形過大時，往往會影響建筑物的正常和安全使用；此外，土體中應力過大時也會導致土的強度破壞，甚至使土體發(fā)生滑動失去穩(wěn)定。因此，通過研究土體中應力的大小和分布規(guī)律，能夠進一步分析土體的變形及強度、土工結(jié)構(gòu)物的變形及穩(wěn)定等問題。

　　一般而言，土體中的應力主要包括兩種：

　　(1) 土體自身重力產(chǎn)生的自重應力(self-weigh stress)。

　　(2) 由建筑物荷載、車輛荷載、土中水的滲流力、地震等的作用所引起的附加應力(additional stress)。

　　對土中應力的研究可借助于古典彈性理論的方法。

　　古典彈性理論研究的對象是連續(xù)的、均勻的、完全彈性和各向同性的介質(zhì)，而實際的土體是非連續(xù)的、非均勻的、非完全彈性的，且常表現(xiàn)為各向異性。雖然土體的實際情況與彈性體的假設有差別，但在一定的條件下引用古典彈性理論研究土體中的應力是合理的，其分析如下。

　　(1) 連續(xù)體：指整個物體所占據(jù)的空間都被介質(zhì)填滿，不留任何空隙。而土是由顆粒堆積而成的具有孔隙的非連續(xù)體，土中應力是通過土顆粒間的接觸點而傳遞的。但是由于建筑物的基礎面積尺寸遠遠大于土顆粒尺寸，而我們所研究的土體在通常應力下的變形和強度是對整個土體而言，而不是對單個土顆粒而言，因此我們只需了解整個受力面上的平均應力，而不需要研究單個顆粒上的受力狀態(tài)，所以可以忽略土分散性的影響，近似地把土體作為連續(xù)體考慮。

　　(2) 完全彈性體：指受力體中應力增加時，應力-應變之間呈直線關(guān)系，應力減小后變形能完全恢復的物體。而變形后的土體，當外力卸除后不能完全恢復原狀，存有較大的殘余變形。但是在實際工程中土中應力水平較低，土的應力-應變關(guān)系接近于線性關(guān)系，可以應用彈性理論方法進行分析。

　　(3) 各向同性：主要指受力體的變形性質(zhì)是各向同性的。但土在形成過程中具有各種結(jié)構(gòu)與構(gòu)造，因此天然地基常常是各向異性的，將土看作各向同性有一定的誤差。

　　(4) 勻質(zhì)體：指整個受力體各點的性質(zhì)都是相同的。自然界中土體具有成層性，當各層土的性質(zhì)相差不大時，將土作為勻質(zhì)體所引起的誤差不大。

　　如圖2-1所示，將土體看作一個半無限空間體，x軸和y軸無限延伸所夾的平面為土體的表面，土體深度延伸的方向為z軸的正方向。土中某點M的應力狀態(tài)可以用一個正六面體上的應力來表示，如圖2-2所示。單元體上的3個法向應力分量為、、，6個剪應力分量為，，。剪應力下角標的前面一個英文字母表示剪應力作用面的外法線方向，后一個字母表示剪應力的作用方向。

　　應該注意，在土力學中法向應力以壓應力為正，拉應力為負。剪應力方向的規(guī)定是當剪應力作用面上的外法線方向與坐標的正方向一致時，剪應力的方向與坐標軸正方向一致時為負，反之為正；若剪應力作用面上的外法線方向與坐標軸正向相反時，則剪應力的方向與坐標軸正方向一致時為正，反之為負。圖2-2中所示的法向應力及剪應力均為正值。

　　圖2-1 半無限空間體 圖2-2 土中一點應力狀態(tài)

　　土體中的應力狀態(tài)一般有三種類型。

　　1. 三維應力狀態(tài)

　　在半無限空間體表面上作用局部荷載時，土體中的應力狀態(tài)屬于三維應力狀態(tài)(即空間應力狀態(tài))。此時，土體中任一點的應力都與x、y、z三個坐標有關(guān)，該點的應力分量用矩陣的形式表示為

　　2. 二維應變狀態(tài)

　　當半無限空間體表面上作用分布荷載(如路堤或擋土墻下地基)，其一個方向的尺寸遠大于另一個方向的尺寸，并且每個橫截面上的應力大小和分布形式均一樣時，在地基中引起的應力狀態(tài)即可簡化為二維應變狀態(tài)(即平面應變狀態(tài))。此時，沿長度方向切出的任一xOz截面均可認為是對稱面，其任一點的應力只與x、z兩個坐標有關(guān)，并且沿y軸方向的應變=0。根據(jù)對稱性，有，其應力分量用矩陣的形式表示為

　　3．側(cè)限應力狀態(tài)

　　側(cè)限應力狀態(tài)是指側(cè)向應變?yōu)榱愕囊环N應力狀態(tài)，如地基在自重作用下的應力狀態(tài)即屬于此種應力狀態(tài)。若將地基土體視為半無限彈性體，則在地基同一深度z處，土單元體沿x軸和y軸的受力條件均相同，因此土體無側(cè)向變形，只有豎直方向的變形。此時，任何豎直面均可看成是對稱面，故在任何豎直面和水平面上，，其應力矩陣可表示為

　　2.2 土中自重應力

　　若土體是均勻的半無限體，則在半無限土體中任意取的截面都是對稱面，根據(jù)側(cè)限應力狀態(tài)的應力矩陣可知該對稱面又是一主平面。對于勻質(zhì)土，由于地面以下任一深度處豎向自重應力都是均勻的且無限分布的，所以在自重應力作用下地基土只產(chǎn)生豎向變形，而無側(cè)向位移及剪切變形，即≠0，==0，===0。

　　如圖2-3所示，若取四平面所夾的土柱體為脫離體，則該脫離體上作用的力有：土柱體的重力W；土柱體底面的反力；側(cè)向土壓力和。根據(jù)豎直方向的靜力平衡條件，W=×A(A為土柱體的橫截面面積)。

　　圖2-3 均勻土自重應力分布

　　2.2.1 均質(zhì)土體中的自重應力

　　當?shù)鼗�是均質(zhì)土時，在深度z處，則，即

　　(2-1)

　　式中：--土的天然重度(kN/m3)；

　　--z平面上由土體本身自重產(chǎn)生的應力(kPa)。

　　土體中自重應力分布范圍是土體存在的半無限空間范圍。從公式(2-1)可知，自重應力隨深度z線性增加，沿水平面均勻分布，如圖2-3所示。

　　地基土在自重的作用下，除受豎向正應力作用外，還受水平向正應力作用。根據(jù)彈性力學原理可知，水平向正應力、與成正比，而水平向及豎向的剪應力均為零，即

　　(2-2)

　　(2-3)

　　式中：K0--土的側(cè)壓力系數(shù)(或靜止土壓力系數(shù))。

　　2.2.2 成層土體中的自重應力

　　地基土體往往是成層狀的，由于各土層具有不同的重度，故深度z處的豎向自重應力可按下式計算：

　　(2-4)

　　式中：n--從天然地面起到深度z處的土層數(shù)；

　　--第層土的厚度(m)；

　　--第層土的天然重度(kN/m3)。

　　由公式(2-4)可知，成層土自重應力在土層分界面處發(fā)生轉(zhuǎn)折，沿豎直方向分布呈折線形，如圖2-4所示。

　　必須指出，這里所討論的土中自重應力是指土顆粒之間接觸點傳遞的應力，該粒間應力使土粒彼此擠緊，不僅會引起土體變形，而且也會影響土體的強度，所以粒間應力又稱為有效應力(詳見本章第5節(jié))。本節(jié)所討論的自重應力都是有效自重應力。以后各章有效自重應力均簡稱為自重應力。

　　2.2.3 土層中有地下水時的自重應力

　　計算地下水位以下土的自重應力時，應根據(jù)土的性質(zhì)確定是否需要考慮水的浮力作用。若受到水的浮力作用，則水下部分土的重度應按土層的浮重度(有效重度)來計算，如圖2-5所示。

　　圖2-5 有地下水時土中應力分布

　　在地下水位以下，如果埋藏有不透水層(例如巖層或只含結(jié)合水的堅硬黏土層)，由于不透水層中不存在自由水產(chǎn)生的浮力，故不透水層頂面及層面以下土中的應力應按上覆土層的水土總重計算，且土的自重應力計算采用土層的實際天然重度而不再按有效重度考慮，因此上覆土層與不透水層交界面處的自重應力將發(fā)生突變，如圖2-6所示。

　　如圖2-7所示，水下地基土中應力的計算可按如下方式考慮：若為完全透水的砂土層，不論河水深淺，計算自重應力時應考慮浮力的影響；若為不透水層，不考慮浮力的影響，且深度的河水等于加在河床底面上的滿布壓力，此時河底不透水層中深度z處的壓力為

　　(2-5)

　　圖2-6 有地下水時成層土中豎向自重應力分布 圖2-7 水下地基土中應力分布

　　由于地下水位以下土的自重應力取決于土的有效重度，則地下水位的升降會引起土體自重應力的變化，如圖2-8所示。如果因大量抽取地下水導致地下水位大幅度下降，使地基中原地下水位與變動后水位之間土層的有效自重應力增加，如圖2-8(a)所示。增加的有效自重應力相當于附加應力的作用，使地基產(chǎn)生沉降(地基的沉降也有固結(jié)變形的作用，參見第4章)。相反，由于某種原因，如筑壩蓄水、農(nóng)業(yè)灌溉以及工業(yè)用水大量滲入地下等，造成地下水位的長期上升，如圖2-8(b)所示，如果該地區(qū)的土體具有濕陷性或膨脹性，則會導致一些工程問題，對此應引起充分重視。

　　圖2-8 地下水位升降對地基自重應力的影響

　　O-1-2線為原來自重應力的分布；O-1'-2'為地下水位變動后自重應力的分布

　　【例2-1】某土層及其物理性質(zhì)指標如圖2-9所示，計算土中自重應力。

　　圖2-9 例2-1圖

　　解：*層土為細砂，地下水位以下的細砂受到水的浮力作用，其浮重度為

　　第二層黏土層浮重度為

　　a點：0，=0。

　　b點：，19×2=38(kPa)。

　　c點：，=19×2+10×3=68(kPa)。

　　d點：，19×2+10×3+7.1×4=96.4(kPa)。

　　土層中的自重應力的分布圖如圖2-9所示。

　　【例2-2】計算圖2-10所示水下地基土中的自重應力分布。

　　解：水下粗砂層受到水的浮力作用，其浮重度為

　　=19.5-9.81=9.69(kN/m3)

　　圖2-10 例2-2圖

　　該堅硬黏土層為不透水層，不受水的浮力作用，因此該層面以下的應力應按上覆土層的水土總重計算，則土中各點的應力：

　　a點：0，0。

　　b點：10m，若該點位于粗砂層中， =9.69×10=96.9(kPa)；

　　若該點位于堅硬黏土層中：=96.9+9.81×13=224.43(kPa)。

　　c點：15m，224.43+19.3×5=320.93(kPa)。

　　土中自重應力的分布圖如圖2-10所示。

　　2.3 基礎底面壓力及其簡化計算

　　建筑物荷載是通過基礎傳遞到地基土中的，因此在基礎底面與地基土之間便產(chǎn)生了接觸應力。在外部荷載作用下基礎底面壓力的大小及其分布形式將對地基土中的應力大小及分布規(guī)律產(chǎn)生直接影響。因此，在計算地基中附加應力及設計基礎結(jié)構(gòu)時，都必須研究基底壓力的分布規(guī)律。

　　2.3.1 基底壓力的分布規(guī)律

　　基底壓力(contact pressure)分布的問題是涉及基礎與地基土兩種不同物體間的接觸壓力問題，在彈性理論中稱為接觸壓力課題。這是一個比較復雜的問題，影響它的因素很多，如基礎的剛度、形狀、尺寸、埋置深度以及土的性質(zhì)、荷載大小等。目前在彈性理論中主要研究不同剛度的基礎與彈性半空間體表面間的接觸壓力分布問題。下面著重分析基礎剛度的影響。

　　從理論概念上可將各種基礎按其與地基土的相對抗彎剛度(EI)分成三類，即理想柔性基礎、理想剛性基礎和有限剛性基礎。

　　1. 理想柔性基礎

　　理想柔性基礎如圖2-11(a)所示，假定其基礎的抗彎剛度EI=0，故可以完全適應地基的變形。這種情況下，基底壓力的分布與作用在基礎上的荷載完全一致，如荷載是均勻的，則基底壓力分布也是均勻的。反之，在均布荷載作用下，地基的變形呈中心大、邊緣小的凹形。如果要使柔性基礎各點的變形相等，需施加中間小、兩邊大的非均布荷載[如圖2-11(a)中虛線所示]。實際上沒有EI=0的理想柔性基礎，可以近似地將路堤、土壩等視作理想柔性基礎，如圖2-11(b)所示。

　　圖2-11 理性柔性基礎下的壓力分布

　　2. 理想剛性基礎

　　對于理想剛性基礎，可假定其基礎的抗彎剛度EI=∞，即在外荷載作用下基礎本身為不變形的絕對剛體。在中心荷載作用下，理想剛性基礎各點豎向變形相同。如果地基是完全彈性體，根據(jù)彈性理論解得的基底壓力分布如圖2-12(a)中實線所示，邊緣應力為無窮大。

　　3. 有限剛性基礎

　　理想剛性基礎中的應力狀態(tài)在實際上是不可能存在的，因為基底壓力不可能超過土的極限強度。當作用的荷載較大時，基礎邊緣由于應力很大，將會使土產(chǎn)生塑性變形，邊緣應力不再增加，而使中央部分繼續(xù)增大。而基礎也不是絕對剛性，因此應力重分布的結(jié)果是使基底壓力分布呈各種復雜的形式。實際壓力如圖2-12(a)中虛線所示，基底壓力分布呈馬鞍形，中央小而兩邊大；或重新分布而呈拋物線形分布，如圖2-12(b)所示；若作用荷載繼續(xù)增大，則基底壓力會繼續(xù)發(fā)展呈倒鐘形分布，如圖2-12(c)所示。橋梁墩臺的擴大基礎、重力式碼頭、擋土墻、大塊墩柱等可視作剛性基礎。

　　(a) 馬鞍形分布 (b) 拋物線形分布 (c) 倒鐘形分布

　　圖2-12 剛性基礎下的壓力分布

　　此外，試驗研究結(jié)果表明，剛性基礎底面的壓力分布形狀不僅與荷載大小有關(guān)，而且與基礎的埋置深度及土的性質(zhì)有關(guān)。

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