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本書系統(tǒng)論述了數(shù)字信號(hào)及其處理的基本原理、算法分析和實(shí)現(xiàn)，共包括9章內(nèi)容，即緒論、離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析、離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析、離散傅里葉變換 (DFT)、快速傅里葉變換 (FFT)、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)等。

　　第3章離散傅里葉變換

　　3.1引言

　　有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理中占有很重要的地位。計(jì)算機(jī)只能處理有限長序列，前面討論的傅里葉變換和Z變換雖然能分析研究有限長序列，但無法利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在這種情況下，可以推導(dǎo)出另一種傅里葉變換式，稱作離散傅里葉變換（DFT）。離散傅里葉變換是有限長序列的傅里葉變換，它相當(dāng)于把信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行等頻率間隔采樣。離散傅里葉變換除了在理論上具有重要意義之外，由于存在快速算法，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中，越來越起到核心的作用。

　　有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣的。在討論離散傅里葉級(jí)數(shù)與離散傅里葉變換前先來回顧并討論一下傅里葉變換的幾種可能形式。

　　3.2傅里葉變換的幾種形式

　　傅里葉變換是建立以時(shí)間t為自變量的“信號(hào)”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”(頻譜)之間的某種變換關(guān)系。所以“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。

　　在深入討論離散傅里葉變換DFT之前,先概述4種不同形式的傅里葉變換對。

　　3.2.1連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率——連續(xù)傅里葉變換(FT)

　　這是非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換，其頻譜X(jΩ)是一個(gè)連續(xù)的非周期函數(shù)。這一變換對為

　　X(jΩ)=∫∞-∞x(t)e-jΩtdt（31）

　　x(t)=12π∫∞-∞X(jΩ)ejΩtdΩ（32）

　　這一變換對的示意圖如圖31(a)所示。可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。

　　圖314種形式的傅里葉變換對示意圖

　　3.2.2連續(xù)時(shí)間、離散頻率——傅里葉級(jí)數(shù)(FS)

　　這是周期（Tp）連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換，得到的是非周期離散頻譜函

　　數(shù)X(jkΩ0)，這一變換對為

　　X(jkΩ0)=1Tp∫Tp/2-Tp/2x(t)e-jkΩ0tdt（33）

　　x(t)=∑∞k=-∞X(jkΩ0)ejkΩ0t（34）

　　其中，Ω0=2πF=2πTp為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為諧波序號(hào)。

　　這一變換對的示意圖如圖31(b)所示，可以看出時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對應(yīng)。

　　3.2.3離散時(shí)間、連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換(DTFT)

　　這是非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，得到的是周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。這正是第2章介紹的序列（離散時(shí)間信號(hào)）的傅里葉變換。這一變換對為

　　X(ejω)=∑∞n=-∞x(n)e-jωn（35）

　　x(n)=12π∫π-πX(ejω)ejωndω（36）

　　其中，ω是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率Ω的關(guān)系為ω=ΩT。

　　這一變換對的示意圖如圖31(c)所示。可以看出時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓，而時(shí)域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)。

　　3.2.4離散時(shí)間、離散頻率——離散傅里葉變換(DFT)

　　上面討論的3種傅里葉變換對都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)樗鼈冎辽僭谝粋€(gè)域（時(shí)域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的。我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況，這就是離散傅里葉變換。一種常用的離散傅里葉變換對可表示為

　　X(k)=∑N-1n=0x(n)e-j2πNnk,0≤k≤N-1（37）

　　x(n)=1N∑N-1k=0X(k)ej2πNnk,0≤n≤N-1（38）

　　比較圖31(a)、圖31（b）和圖31(c)可發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律：如果信號(hào)頻域是離散的，則表現(xiàn)為周期性的時(shí)間函數(shù)。相反，在時(shí)域上是離散的，則該信號(hào)在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。不難設(shè)想，一個(gè)離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，其示意圖如圖31(d)所示。

　　由此可以得出一般的規(guī)律：一個(gè)域的離散對應(yīng)另一個(gè)域的周期延拓，一個(gè)域的連續(xù)必定對應(yīng)另一個(gè)域的非周期。表31對這4種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡要?dú)w納。

　　下面先從周期性序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)開始討論，然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長序列的離散傅里葉變換。

　　表314種傅里葉變換形式的歸納

　　時(shí)間函數(shù)

　　頻率函數(shù)

　　連續(xù)和非周期

　　非周期和連續(xù)

　　連續(xù)和周期（Tp）

　　非周期和離散

　　Ω0=2πTp

　　離散（T）和非周期

　　周期Ωs=2πT和連續(xù)

　　離散（T）和周期（Tp）

　　周期Ωs=2πT和離散

　　Ω0=2πTp

　　3.3離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）

　　3.3.1DFS的定義

　　設(shè)x～(n)是一個(gè)周期為N的周期序列，即

　　x～(n)=x～(n+rN)，r為任意整數(shù)

　　由于周期序列的數(shù)值隨周期N在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)周而復(fù)始地重復(fù)變化，因而在整個(gè)z平面內(nèi)找不到一個(gè)合適的衰減因子|z|，使周期序列絕對可和。即對于z平面內(nèi)的任意z值，都有

　　∑∞n=-∞|x～(n)z-n|=∑∞n=-∞|x～(n)||z|-n=∞

　　所以，周期序列不能用Z變換表示。

　　但是，正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣，離散周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)表示，也就是用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來表示。表32表示了連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對比。

　　表32連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對比

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