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本書是為準(zhǔn)備攻讀研究生的同學(xué)準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)入門讀物。本書用通俗的語言和非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕榻B，給出了多個(gè)數(shù)學(xué)分支的概貌。這些數(shù)學(xué)分支包括：線性代數(shù)、實(shí)分析、向量函數(shù)微積分、點(diǎn)集拓?fù)�、�?jīng)典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲線和曲面的曲率、幾何學(xué)、復(fù)分析、可數(shù)和選擇公理、代數(shù)、Lebesgue積分、Fourier分析、微分方程、組合數(shù)學(xué)和概率論、算法。本書適合攻讀電子類、信息類、材料類、生物類、化工類、機(jī)械類等工程類專業(yè)研究生的讀者閱讀。本書也可作為一學(xué)期課程的教材使用。

　　數(shù)學(xué)是令人振奮的。我們生活在數(shù)學(xué)史上最偉大的時(shí)代。在20世紀(jì)30年代，有些人擔(dān)心20世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)越來越抽象，這可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)家們從事沒有成果的愚蠢智力練習(xí)，也可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)分裂成完全不同的分支，就如同自然哲學(xué)被分成了物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)和地質(zhì)學(xué)那樣。但是事實(shí)卻恰恰相反。從第二次世界大戰(zhàn)開始，人們?cè)絹碓角宄匾庾R(shí)到數(shù)學(xué)有著統(tǒng)一的規(guī)律。曾經(jīng)被分開的領(lǐng)域現(xiàn)在互相支撐著彼此。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)值得傾注一生。

　　數(shù)學(xué)是復(fù)雜的。很不幸的是，人們并沒有那么擅長數(shù)學(xué)。盡管學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以說是一種享受，但是它仍然需要勤奮及自律。我?guī)缀醪徽J(rèn)識(shí)把數(shù)學(xué)看作一門簡單學(xué)科的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，大多數(shù)情況下，在幾杯啤酒下肚后，他們會(huì)承認(rèn)自己在數(shù)學(xué)上的愚鈍。這也是一名即將攻讀研究生的學(xué)生所必須面對(duì)的障礙，即怎樣解決數(shù)學(xué)的深刻性與我們淺薄的數(shù)學(xué)知識(shí)間鮮明的反差。研究生院的學(xué)生流失率如此之高的部分原因也在于此。就算在最好的學(xué)校里有最高的留存率，通常也只有一半的人最終能獲得博士學(xué)位。甚至在排名前二十的學(xué)校里，有時(shí)也會(huì)有80%的研究生不能畢業(yè)，盡管這些研究生比起一般人來說更加擅長于數(shù)學(xué)。很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個(gè)能使他們發(fā)光發(fā)熱的領(lǐng)域。可是突然在研究生院里他們被同樣甚至更優(yōu)秀（或者看起來更優(yōu)秀）的人所包圍。更糟的是，數(shù)學(xué)本身還是一種精英教育。學(xué)校不會(huì)為了使初學(xué)者感覺良好而背離自己的教育方式（這不是學(xué)校的工作，其工作是探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域）。事實(shí)上，有更簡單的謀生方式（盡管對(duì)于數(shù)學(xué)家來說可能不太令人滿意）。所以“你必須被逼著成為一個(gè)數(shù)學(xué)家”這句話是有道理的。

　　盡管如此，數(shù)學(xué)還是令人興奮的。挫折應(yīng)該能夠被學(xué)習(xí)和最終開拓（或發(fā)現(xiàn)）嶄新數(shù)學(xué)領(lǐng)域的興奮感而戰(zhàn)勝。歸根結(jié)底，成為一名數(shù)學(xué)研究者是進(jìn)入研究生院學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)。和其他創(chuàng)作相同，數(shù)學(xué)的研究也會(huì)造成情緒的起伏。只有從事規(guī)律和乏味的工作才不會(huì)有情緒上的高峰和低谷。研究生面對(duì)的一部分困難就是學(xué)著怎樣去處理他們情緒的低谷期。

　　本書的目標(biāo)。本書的目標(biāo)之一是至少給出有關(guān)主題的粗略介紹，這些主題是頂尖研究生都應(yīng)該知道的。很不幸的是，對(duì)于研究生和研究工作來說，因?yàn)樗璧闹R(shí)要比在大學(xué)短短四年時(shí)間所學(xué)到的知識(shí)多得多，所以幾乎沒有新生能完全理解這些主題，不過還好，所有人都至少知道這些主題中的一部分。不同的人了解的主題不同，這也有力地表明了與他人合作的好處。

　　本書還有另外一個(gè)目標(biāo)。許多非數(shù)學(xué)工作者突然發(fā)現(xiàn)他們需要知道一些嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識(shí)。閱讀教材對(duì)于他們來說十分困難。本書的每一章都會(huì)提供一些有關(guān)他們感興趣的主題的提綱。

　　為了能找出一些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的暗示，面對(duì)一個(gè)新定義時(shí)，讀者應(yīng)該盡力找出一個(gè)簡單的例子和一個(gè)簡單的反例。順便說一下，反例就是一個(gè)幾乎滿足但不完全滿足定義的例子。但是，除了找出這些例子之外，讀者還應(yīng)該考慮基礎(chǔ)定義被給出的原因。這使得如何研究數(shù)學(xué)被分裂成了兩種思潮。一種是從合理的但不單純的定義開始，然后證明關(guān)于這些定義的定理。通常定理的敘述都是很復(fù)雜的，包含很多不同的情形和條件，并且證明也相當(dāng)復(fù)雜，需要很多特定的技巧。

　　另一種，也是在20世紀(jì)中期用得很多的一種方法，即花費(fèi)大量時(shí)間研究基礎(chǔ)定義，目的是使定理被更清晰地陳述，并且有直截了當(dāng)?shù)淖C明。在這種思潮下，每當(dāng)在證明中用到一個(gè)技巧的時(shí)候，就意味著要進(jìn)行更多的工作。這也意味著定義本身需要得到理解，即使僅僅是在解決為什么要提出此定義的水平上。但是通過這種方式，定理能夠被清晰地陳述和證明。

　　在這種方法中，例子成了關(guān)鍵。對(duì)于一些基本例子，大家已經(jīng)熟知了它們的性質(zhì)。這些例子會(huì)使抽象的定義和定理形象化。事實(shí)上，這些定義的產(chǎn)生是為了給出相應(yīng)的定理，以及與之相關(guān)的例子，這也是我們所期待的答案。只有那樣，定理才能被應(yīng)用到新的例子和那些我們不了解的情形中。

前言關(guān)于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu) 主題概要 01線性代數(shù) 02實(shí)分析 03向量值函數(shù)的微積分 04點(diǎn)集拓?fù)? 05經(jīng)典Stokes定理 06微分形式和Stokes定理 07曲線和曲面的曲率 08幾何學(xué) 09復(fù)分析 010可數(shù)性和選擇公理 011代數(shù) 012勒貝格積分 013傅里葉分析 014微分方程 015組合學(xué)和概率論 016算法第1章線性代數(shù) 11介紹 12基本向量空間Rn 13向量空間和線性變換 14基、維數(shù)和表示為矩陣的線性變換 15行列式 16線性代數(shù)基本定理 17相似矩陣 18特征值和特征向量 19對(duì)偶向量空間 110推薦閱讀 111練習(xí) 第2章ε和δ實(shí)分析 21極限 22連續(xù)性 23微分 24積分 25微積分基本定理 26函數(shù)的點(diǎn)態(tài)收斂 27一致收斂 28Weierstrass M判別法 29Weierstrass的例子 210推薦閱讀 211練習(xí) 第3章向量值函數(shù)的微積分 31向量值函數(shù) 32向量值函數(shù)的極限和連續(xù)性 33微分和Jacobi矩陣 34反函數(shù)定理 35隱函數(shù)定理 36推薦閱讀 37練習(xí) 那些年你沒學(xué)明白的數(shù)學(xué)——攻讀研究生必知必會(huì)的數(shù)學(xué)目錄第4章點(diǎn)集拓?fù)? 41基礎(chǔ)定義 42Rn上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)? 43度量空間 44拓?fù)浠? 45交換環(huán)的Zariski拓?fù)? 46推薦閱讀 47練習(xí) 第5章經(jīng)典Stokes定理 51關(guān)于向量微積分的準(zhǔn)備工作 511向量場 512流形和邊界 513路徑積分 514曲面積分 515梯度 516散度 517旋度 518可定向性 52散度定理和Stokes定理 53散度定理的物理解釋 54Stokes定理的物理解釋 55散度定理的證明梗概 56Stokes定理的證明梗概 57推薦閱讀 58練習(xí) 第6章微分形式和Stokes定理 61平行六面體的體積 62微分形式和外導(dǎo)數(shù) 621初等k形式 622k形式的向量空間 623處理k形式的準(zhǔn)則 624微分k形式和外導(dǎo)數(shù) 63微分形式和向量場 64流形 65切空間和定向 651隱式和參數(shù)化流形的切空間 652抽象流形的切空間 653向量空間的定向 654流形和它的邊界的定向 66流形上的積分 67Stokes定理 68推薦閱讀 69練習(xí) 第7章曲線和曲面的曲率 71平面曲線 72空間曲線 73曲面 74GaussBonet定理 75推薦閱讀 76練習(xí) 第8章幾何學(xué) 81歐式幾何 82雙曲幾何 83橢圓幾何 84曲率 85推薦閱讀 86練習(xí) 第9章復(fù)分析 91解析函數(shù) 92柯西黎曼方程 93復(fù)變函數(shù)的積分表示 94解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示 95保角映射 96黎曼映射定理 97多復(fù)變數(shù)：哈托格斯定理 98推薦閱讀 99練習(xí) 第10章可數(shù)性和選擇公理 101可數(shù)性 102樸素集合論與悖論 103選擇公理 104不可測集 105哥德爾和獨(dú)立性證明 106推薦閱讀 107練習(xí) 第11章代數(shù) 111群 112表示論 113環(huán) 114域和迦羅瓦理論 115推薦閱讀 116練習(xí) 第12章勒貝格積分 121勒貝格測度 122康托集 123勒貝格積分 124收斂理論 125推薦閱讀 126練習(xí) 第13章傅里葉分析 131波函數(shù)，周期函數(shù)和三角學(xué) 132傅里葉級(jí)數(shù) 133收斂問題 134傅里葉積分和變換 135求解微分方程 136推薦閱讀 137練習(xí) 第14章微分方程 141基本知識(shí) 142常微分方程 143拉普拉斯算子 1431平均值原理 1432變量分離 1433在復(fù)分析上的應(yīng)用 144熱傳導(dǎo)方程 145波動(dòng)方程 1451來源 1452變量代換 146求解失敗：可積性條件 147Lewy的例子 148推薦閱讀 149練習(xí) 第15章組合學(xué)和概率論 151計(jì)數(shù) 152概率論基礎(chǔ) 153獨(dú)立性 154期望和方差 155中心極限定理 156n!的Stirling近似 157推薦閱讀 158練習(xí) 第16章算法 161算法和復(fù)雜度 162圖：歐拉和哈密頓回路 163排序和樹 164P=NP? 165數(shù)值分析：牛頓法 166推薦閱讀 167練習(xí) 附錄等價(jià)關(guān)系參考文獻(xiàn)

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