《中公版·2018考研數(shù)學(xué):微積分專項(xiàng)輔導(dǎo)·數(shù)學(xué)三適用》是針對(duì)2018年考研的考生編寫(xiě)的一本專項(xiàng)圖書(shū),書(shū)中包含了考研數(shù)學(xué)大綱規(guī)定的微積分的全部考點(diǎn)。
全書(shū)共分六章,每章包含六個(gè)模塊。【學(xué)習(xí)提要】和【考試要求】簡(jiǎn)單分析了本章知識(shí)點(diǎn)與其他章節(jié)之間的聯(lián)系以及考試大綱對(duì)各考點(diǎn)的具體要求!颈菊轮R(shí)框架圖】再現(xiàn)了本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)!净A(chǔ)知識(shí)講解】以淺顯的角度切入,詳細(xì)地講解了本章涉及的基本概念、重要定理和性質(zhì)。【典型例題與方法技巧】對(duì)各考點(diǎn)涉及的題型做了細(xì)致的分類。【本章同步練習(xí)題】與【同步練習(xí)題答案解析】相配套,篩選了適量習(xí)題,供考生自測(cè)學(xué)習(xí)效果。
因印刷批次不同,圖書(shū)封面可能與實(shí)際展示有所區(qū)別,增值服務(wù)也可能會(huì)有所不同,以讀者收到實(shí)物為準(zhǔn)。
《中公版·2018考研數(shù)學(xué):微積分專項(xiàng)輔導(dǎo)·數(shù)學(xué)三適用》具有如下幾個(gè)主要特色:
一、書(shū)內(nèi)含碼,碼上有課
本書(shū)在同步練習(xí)題環(huán)節(jié)針對(duì)具有代表性的題目配有二維碼,考生掃碼即可觀看相關(guān)題目的視頻講解,講解過(guò)程生動(dòng)直接,助考生告別無(wú)聲讀書(shū)時(shí)代。
二、單科復(fù)習(xí),提升實(shí)力
考研數(shù)學(xué)包括三個(gè)科目,三科各有特點(diǎn),有難有易,有些考生的整體實(shí)力會(huì)受到其中某一科目的影響,因此本書(shū)主要針對(duì)單科基礎(chǔ)薄弱或單科需要強(qiáng)化提升的考生。
本書(shū)按照總覽整體—強(qiáng)化基礎(chǔ)—理論應(yīng)用—練習(xí)自測(cè)的順序編排,考生可以通過(guò)本書(shū)進(jìn)行單科復(fù)習(xí)以提升考研數(shù)學(xué)整體的實(shí)力。
三、注重技巧,快速分析
本書(shū)精華部分在于典型例題與方法技巧,書(shū)中的典型例題從多角度多層次分類講解,細(xì)化深究其特點(diǎn)、形式等。這樣有助于考生了解每種題型,快速分析,迅速找到突破口。
此外,每個(gè)例題結(jié)尾均有方法技巧,總結(jié)了同類型題目的特點(diǎn)、提問(wèn)形式、思路分析、解答步驟、技巧方法,幫助考生舉一反三,不再遇題盲目。
四、移動(dòng)自習(xí),隨時(shí)隨地
購(gòu)書(shū)享有中公教育移動(dòng)自習(xí)室多樣增值服務(wù),內(nèi)含:核心考點(diǎn)免費(fèi)學(xué),在線題庫(kù)任意練,考友圈答疑解惑,視頻直播隨時(shí)看?忌衫盟槠瘯r(shí)間,隨時(shí)隨地上自習(xí)。
考生在復(fù)習(xí)過(guò)程中,有任何疑惑都可以在微信考友圈提出,我們的老師會(huì)時(shí)間去解答。
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、函數(shù)
(一)函數(shù)的概念及表示法
(二)函數(shù)的性質(zhì)
(三)常見(jiàn)函數(shù)類型
二、極限
(一)極限的概念
(二)極限的相關(guān)性質(zhì)
(三)極限存在準(zhǔn)則
(四)極限的四則運(yùn)算法則
(五)兩個(gè)重要極限
(六)無(wú)窮小、無(wú)窮大
三、連續(xù)
(一)連續(xù)的概念
(二)間斷點(diǎn)及其類型
(三)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
典型例題與方法技巧
一、函數(shù)
題型1——利用函數(shù)的概念解題
題型2——利用函數(shù)的性質(zhì)解題
題型3——常見(jiàn)函數(shù)的類型
二、極限
題型1——數(shù)列極限
題型2——函數(shù)極限
題型3——用函數(shù)解數(shù)列極限
題型4——含參數(shù)的極限問(wèn)題
三、函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)
題型1——函數(shù)的連續(xù)性
題型2——間斷點(diǎn)類型的判別
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、導(dǎo)數(shù)與微分
(一)導(dǎo)數(shù)與微分的概念
(二)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
(三)求導(dǎo)法則與微分法則
(四)函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系
(五)一階微分形式的不變性
二、微分中值定理
(一)羅爾定理
(二)拉格朗日中值定理
(三)柯西中值定理
(四)泰勒中值定理
三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
(一)洛必達(dá)法則
(二)判斷函數(shù)單調(diào)性
(三)函數(shù)的極值與最值
(四)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線
(五)函數(shù)圖形的描繪
(六)方程的根
(七)幾何應(yīng)用:切線與法線
(八)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用
典型例題與方法技巧
一、導(dǎo)數(shù)與微分
題型1——導(dǎo)數(shù)概念的直接應(yīng)用
題型2——導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
題型3——n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
題型4——函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系
二、微分中值定理
題型1——羅爾定理
題型2——拉格朗日中值定理
題型3——柯西中值定理
題型4——泰勒中值定理
三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
題型1——洛必達(dá)法則的應(yīng)用
題型2——判斷函數(shù)的單調(diào)性
題型3——求函數(shù)的極值與最值
題型4——曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線
題型5——方程的根
題型6——不等式證明
題型7——幾何應(yīng)用:切線與法線
題型8——經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、不定積分
(一)原函數(shù)和不定積分的概念
(二)不定積分的性質(zhì)
(三)不定積分的計(jì)算
二、定積分
(一)定積分的概念
(二)定積分的性質(zhì)
(三)積分上限的函數(shù)
(四)定積分的計(jì)算
(五)定積分的應(yīng)用
三、反常積分
(一)無(wú)窮積分
(二)瑕積分
典型例題與方法技巧
一、不定積分
題型1——不定積分的概念
題型2——不定積分的計(jì)算
二、定積分
題型1——定積分的概念和性質(zhì)
題型2——定積分的計(jì)算
題型3——積分上限函數(shù)
題型4——定積分的應(yīng)用
三、反常積分
題型1——無(wú)窮積分
題型2——瑕積分
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、多元函數(shù)的相關(guān)概念
(一)多元函數(shù)的概念
(二)二元函數(shù)的幾何意義
(三)二元函數(shù)的極限
(四)二元函數(shù)的連續(xù)性
(五)有界閉區(qū)域上多元函數(shù)的性質(zhì)
二、偏導(dǎo)數(shù)
(一)偏導(dǎo)數(shù)的概念
(二)求導(dǎo)法則
(三)高階偏導(dǎo)數(shù)
三、全微分
(一)全微分的概念
(二)全微分的計(jì)算
四、多元函數(shù)的極值與最值
(一)多元函數(shù)無(wú)條件極值
(二)多元函數(shù)條件極值
(三)多元函數(shù)的最值
五、二重積分
(一)二重積分的概念與性質(zhì)
(二)二重積分的計(jì)算
(三)無(wú)界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分
典型例題與方法技巧
一、多元函數(shù)的相關(guān)概念
題型1——二元函數(shù)極限的相關(guān)問(wèn)題
題型2——二元函數(shù)連續(xù)的相關(guān)問(wèn)題
二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
題型1——多元復(fù)合函數(shù)求一階、二階偏導(dǎo)
題型2——多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)的相關(guān)問(wèn)題
三、多元函數(shù)全微分
題型1——多元函數(shù)全微分的求解
題型2——二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分間的關(guān)系
四、多元函數(shù)的極值與最值
題型1——多元函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題
題型2——多元函數(shù)條件極值問(wèn)題
題型3——多元函數(shù)的最值問(wèn)題
五、二重積分
題型1——二重積分的概念及性質(zhì)
題型2——二重積分的計(jì)算
題型3——無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
(二)正項(xiàng)級(jí)數(shù)
(三)交錯(cuò)級(jí)數(shù)
(四)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)
二、冪級(jí)數(shù)
(一)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)
(二)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)
(三)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算法則
典型例題與方法技巧
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
題型1——正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別
題型2——交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別
題型3——任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別
二、冪級(jí)數(shù)
題型1——求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間或收斂域
題型2——冪級(jí)數(shù)展開(kāi)
題型3——冪級(jí)數(shù)求和
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
學(xué)習(xí)提要
考試要求
本章知識(shí)框架圖
基礎(chǔ)知識(shí)講解
一、微分方程的相關(guān)定義
(一)微分方程
(二)微分方程的階
(三)常微分方程
(四)微分方程的解,通解
(五)初始條件,特解
(六)齊次線性方程與非齊次線性方程
二、一階微分方程
(一)變量可分離的微分方程
(二)齊次微分方程
(三)一階線性微分方程
三、二階常微分方程
(一)二階線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理
(二)二階常系數(shù)齊次線性微分方程
(三)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
四、差分方程
(一)差分與差分方程
(二)一階常系數(shù)線性差分方程
五、微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題
(一)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的五大函數(shù)
(二)邊際函數(shù)與彈性函數(shù)
典型例題與方法技巧
一、一階微分方程
題型1——變量可分離的微分方程
題型2——齊次方程
題型3——一階線性微分方程
二、二階常微分方程
題型1——二階常系數(shù)齊次線性微分方程
題型2——二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
三、一階差分方程
四、微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題
本章同步練習(xí)題
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
同步練習(xí)題答案解析
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
【學(xué)習(xí)提要】
函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象,極限是微積分的理論基礎(chǔ),函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)可導(dǎo)與可積的重要條件,所以函數(shù)、極限和連續(xù)都是微積分的基礎(chǔ)。本章是學(xué)好微積分的基石,這部分知識(shí)在考研真題中通常會(huì)出現(xiàn)兩道小題或一道大題,且由于后面各章節(jié)中多數(shù)考點(diǎn)會(huì)涉及函數(shù)、連續(xù)的概念,并且在綜合題中常用到極限和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),因此考生在復(fù)習(xí)時(shí)要靈活掌握,在了解理論的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通。
【考試要求】
1.理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。
2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,了解初等函數(shù)的概念。
5.了解數(shù)列極限和函數(shù)極限(包括左極限與右極限)的概念。
6.了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,掌握極限的四則運(yùn)算法則,掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
7.理解無(wú)窮小量的概念和基本性質(zhì),掌握無(wú)窮小量的比較方法。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。
8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
9.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、大值和小值定理、介值定理),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
一、函數(shù)
。ㄒ唬┖瘮(shù)的概念及表示法
1.函數(shù)的概念
設(shè)數(shù)集DR,則稱映射f:D→R為定義在D上的函數(shù),記為y=f(x),x∈D,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域。
2.函數(shù)的表示法
函數(shù)的表示法有:解析法,列表法,圖像法。
。ǘ┖瘮(shù)的性質(zhì)
1.單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,(a,b)D,則
。1)若對(duì)任意的x1,x2∈(a,b),當(dāng)x1f(x2)),則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減);
(2)若對(duì)任意的x1,x2∈(a,b),當(dāng)x1 判定方法:①f(x1)與f(x2)作差后與0比較(或f(x1)與f(x2)作商后與1比較);②使用結(jié)論:可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)不減(不增)的充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)。
2.有界性
(1)若存在常數(shù)M,使f(x)≤M,x∈D,則稱f(x)有上界;
(2)若存在常數(shù)m,使f(x)≥m,x∈D,則稱f(x)有下界;
(3)若f(x)既有上界又有下界,則稱f(x)有界。
結(jié)論:①f(x)有界的充要條件為存在常數(shù)M>0,使f(x)≤M;②閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界(有界性定理);③函數(shù)有極限(收斂)局部有界;④有界是可積的必要條件(可積一定有界,反之不然)。
注:可積一定有界只是針對(duì)定積分而言的。
3.奇偶性
若f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù);若f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。
注:f(x)-f(-x)為奇函數(shù);f(x)+f(-x)為偶函數(shù)。
結(jié)論:①若f(x)為可積的奇函數(shù),則∫a-af(x)dx=0;②若f(x)為可積的偶函數(shù),則∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx;③若f(x)為一般可積函數(shù),則∫a-af(x)dx=∫a0[f(x)+f(-x)]dx;④可導(dǎo)的奇(偶)函數(shù)每求一次導(dǎo),其奇偶性發(fā)生一次改變(如F(x)是連續(xù)的奇函數(shù),則F′(x)為偶函數(shù))。
注:當(dāng)遇到積分的上下限互為相反數(shù)時(shí),應(yīng)優(yōu)先考慮利用被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算。
4.周期性
若存在T≠0,使f(x+T)=f(x),則稱f(x)是以T為周期的周期函數(shù)。
結(jié)論:若T為f(x)的周期,那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,…。
注:周期函數(shù)未必有小正周期。
結(jié)論:①可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù),且周期不變;②若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx。
。ㄈ┏R(jiàn)函數(shù)類型
1.基本初等函數(shù)
冪函數(shù):y=xμ(μ∈R是常數(shù));
指數(shù)函數(shù):y=ax(a>0且a≠1);
對(duì)數(shù)函數(shù):y=logax(a>0且a≠1,特別當(dāng)a=e時(shí),記為y=lnx);
三角函數(shù):如y=sinx,y=cosx,y=tanx等;
反三角函數(shù):如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。
2.初等函數(shù)
由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù),例如y=sinx+ex。
3.反函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D,值域是W。如果對(duì)于W內(nèi)的每一個(gè)y,由y=f(x)可以確定唯一的x∈D,這樣在W上定義了一個(gè)函數(shù),稱為y=f(x)的反函數(shù),記為x=f-1(y),y∈W。
習(xí)慣上自變量用x表示,因變量用y表示。一般的,y=f(x),x∈D的反函數(shù)記成y=f-1(x),x∈W。在同一坐標(biāo)系中,y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性,且它們的圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的。
4.隱函數(shù)
如果變量x,y滿足方程F(x,y)=0,在給定條件下,當(dāng)x取某區(qū)間的任一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的y值與之對(duì)應(yīng),則說(shuō)明方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。
5.復(fù)合函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域是Df,函數(shù)u=φ(x)的定義域是Dφ,且RφDf,則稱函數(shù)y=f[φ(x)]為復(fù)合函數(shù),它的定義域是{xx∈Dφ},u稱為中間變量,x稱為自變量。
6.分段函數(shù)
用解析法表示的函數(shù),若在其定義域D的各個(gè)不相交的子集上,分別用不同的式子表示,則該函數(shù)稱為分段函數(shù)。
常見(jiàn)的分段函數(shù):
。1)絕對(duì)值函數(shù)y=x=x,x≥0,
-x,x<0。
(2)大值函數(shù)max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},
f2(x),{xf1(x) 小值函數(shù)min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},
f1(x),{xf1(x) 。3)取整函數(shù)[x]或intx,表示不超過(guò)x的大整數(shù)。
。4)符號(hào)函數(shù)y=sgnx=1,x>0,
0,x=0,
-1,x<0。
。5)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)y=D(x)=1,x是有理數(shù),
0,x是無(wú)理數(shù)。
二、極限
。ㄒ唬O限的概念
1.數(shù)列極限
設(shè){xn}為一數(shù)列,limn→∞xn=A,A為常數(shù)對(duì)任意的ε>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),有xn-A<ε。則稱常數(shù)A是數(shù)列{xn}的極限。
2.函數(shù)極限
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R,存在常數(shù)A,limx→∞f(x)=A對(duì)任意的ε>0,存在X>0,當(dāng)x>X時(shí),有f(x)-A<ε。
3.函數(shù)左、右極限
若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0,總存在δ>0,使得當(dāng)0 若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0,總存在δ>0,使得當(dāng)0 結(jié)論:函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等,即
f(x-0)=f(x+0)=A,
因此,即使f(x-0)和f(x+0)都存在,但若不相等,則limx→x0f(x)也不存在。
。ǘO限的相關(guān)性質(zhì)
1.數(shù)列收斂的性質(zhì)
(1)唯一性
如果數(shù)列{xn}收斂,那么它的極限唯一。
。2)收斂數(shù)列的有界性
如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。
。3)收斂數(shù)列的保號(hào)性
如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0),那么存在正整數(shù)N>0,當(dāng)n>N時(shí),都有xn>0(或xn<0)。
2.函數(shù)收斂的性質(zhì)
(1)唯一性
設(shè)limx→x0f(x)=A,limx→x0f(x)=B,則A=B。
(2)局部有界性
設(shè)limx→x0f(x)=A,則存在δ>0和M>0,使當(dāng)0 (3)局部保號(hào)性
設(shè)limx→x0f(x)=A,且A>0(或<0),則存在δ>0,使當(dāng)00(或<0),反之,若f(x)>0(或<0),且limx→x0f(x)=A存在,則A≥0(或≤0)。
推論若limx→x0f(x)=A(A≠0),那么存在x0的某一去心鄰域Uο(x0),當(dāng)x∈Uο(x0)時(shí),有
f(x)>A2。
(三)極限存在準(zhǔn)則
1.夾逼準(zhǔn)則
對(duì)于自變量x的同一變化過(guò)程,若limg(x)=limh(x)=A,且g(x)≤f(x)≤h(x),則limf(x)=A。
2.單調(diào)有界原理
設(shè)數(shù)列{un}單調(diào)增加(減少)且有上(下)界M(m),則極限limn→∞un存在,且limn→∞un≤M(≥m)。
。ㄋ模O限的四則運(yùn)算法則
設(shè)有函數(shù)f(x),g(x),如果在自變量的同一變化過(guò)程中,有l(wèi)imf(x)=a,limg(x)=b,則
(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=a±b;
(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=ab;
(3)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab(b≠0);
(4)lim[cf(x)]=climf(x)=ca,其中c為常數(shù);
(5)若limf(x)存在,則lim[f(x)]n=[limf(x)]n,n是任意正整數(shù)。
。ㄎ澹﹥蓚(gè)重要極限
1.limx→0sinxx=1;
2.limx→0(1+x)1x=e或limx→∞1+1xx=e。
。o(wú)窮小、無(wú)窮大
1.定義
無(wú)窮小量:若limx→x0f(x)=0(或limx→∞f(x)=0),則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。
無(wú)窮大量:若limx→x0f(x)=∞(或limx→∞f(x)=∞),則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。
2.無(wú)窮小量的性質(zhì)
(1)在自變量的同一變化過(guò)程中,如果f(x)為無(wú)窮大,則1f(x)為無(wú)窮小;反之,如果f(x)為無(wú)窮小,且f(x)≠0,則1f(x)為無(wú)窮大。
(2)有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。
(3)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。
(4)常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。
(5)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。
3.無(wú)窮小量α(x),β(x)的階
設(shè)α(x)與β(x)都是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小,且β(x)≠0。
(1)若limα(x)β(x)=0,則α(x)是比β(x)高階的無(wú)窮小,記為α(x)=ο[β(x)];
(2)若limα(x)β(x)=∞,則α(x)是比β(x)低階的無(wú)窮小;
(3)若limα(x)β(x)=C≠0,則α(x)與β(x)是同階無(wú)窮小;
(4)若limα(x)β(x)=1,則α(x)與β(x)是等價(jià)無(wú)窮小,記為α(x)~β(x);
(5)若limα(x)βk(x)=C≠0(k>0),則α(x)是β(x)的k階無(wú)窮小。
4.幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小量
x→0時(shí),
x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1~ax-1lna~(1+x)a-1a,
1-cosx~12x2,x-sinx~16x3。